數(shù)學(xué)分析-數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(編輯修改稿)
2024-08-21 06:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 收斂, 收斂. ⅱ 可見(jiàn) 往后遞增 , .推論 ( 檢比法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 ⅰ , 收斂。 ⅱ 或 = , 發(fā)散. ( 證 ) 例4 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性.解 , 收斂. 例5 討論級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 . 因此, 當(dāng) 時(shí), 。 時(shí), 。 時(shí), 級(jí)數(shù)成為 , 發(fā)散 2. 檢根法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級(jí)數(shù)作為比較的對(duì)象建立的判別法.Th 4 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 及 , 當(dāng) 時(shí) , ⅰ 若 , 收斂。 ⅱ 若 , 發(fā)散. ( 證 )推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 . 則 , 收斂。 , 發(fā)散. ( 證 ) 例5 研究級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 , 收斂. 3． 積分判別法 ： Th 5 設(shè)在區(qū)間 上函數(shù) 且↘ . 則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與積分共斂散. 證 對(duì) 且 . 例6 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性: ⑴ 。 ⑵ . 習(xí) 題 課 一． 直接比較判斂： 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用直接比較法判斂時(shí) , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 對(duì) , 有 . ⑶ 。 特別地 , 有 , . ⑷ 時(shí) , 有 . ⑸ . ⑹ 充分大時(shí) , 有 . 例1 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 時(shí), , ( 或 ). …… 例2 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 , 其中 . 解 時(shí) , 有 收斂。 時(shí) , 發(fā)散.例3 設(shè)數(shù)列 有界 . 證明 .證 設(shè) . 例4 設(shè) 且數(shù)列 有正下界 . 證明級(jí)數(shù) .證 設(shè) . 例5 . 若 , 則 .證 。 又 . 例6 設(shè) . 若級(jí)數(shù)和 收斂 ,則級(jí)數(shù) 收斂.例7 設(shè) . 證明 ⑴ , , 。 ⑵ 和 之一或兩者均發(fā)散時(shí), 仍可能收斂 。 ⑶ , , .證 ⑴ 充分大時(shí) , . ⑵ 取 . ⑶ . 二. 利用同階或等價(jià)無(wú)窮小判斂 : 例8 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:
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