10-1-收斂原理與數(shù)項級數(shù)(編輯修改稿)
2024-08-31 06:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 kk a并非級數(shù)收斂的充分條件 . 例如 , 調(diào)和級數(shù) 雖然 但此級數(shù)發(fā)散 . （后面將證明此 調(diào)和級數(shù)發(fā)散 .） 柯西收斂原理給出了級數(shù)收斂的充分必要條件。 定理 4（級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則） 1nna???級 數(shù) 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 ：0 , ,N?? ? ?存 在 自 然 數(shù) 只 要 n N , 則 有1, 1 , 2 , 3 ,npkknap????? ? ?? 自 然 數(shù)證明 1,knnkksa??? ?令 ? ?1nna???? n則 級 數(shù) 收 斂 序 列 s 收 斂0 , , , 1 , 2 , 3 , ,N n N p?? ? ? ? ? ?自 然 數(shù) 只 要 則 對 任 意 自 然 數(shù),n n pss ????1,npkkna ??????此 即 為 證 畢 ?？疾? 調(diào)和級數(shù) 的收斂性 . 這個級數(shù)的通項趨于零，滿足收斂的必要條件，因而不能立即斷定它收斂或發(fā)散 .根據(jù)柯西收斂原理，我們應(yīng)該考慮形如 顯然，不論 n多大，只要取 P足夠大 (即取項數(shù)足夠多 ),上述形式的和就不趨于零 。 比如，任意取定 n后，取 p=n,那么 這就表明 調(diào)和級數(shù)是 發(fā)散的 . 的和當(dāng) 時是否趨于零， 這就證明了這個級數(shù)是收斂的 . 調(diào)和級數(shù) 是 發(fā)散的 ,而 是收斂的 .從直觀上 可以這樣
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