【微積分第九章】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié)絕對收斂與條件收斂(編輯修改稿)
2025-01-04 06:36 本頁面
【文章內容簡介】 ? 不能判定 如 ?????? 12111nn nn與 都有 1lim ??? n nn u但 ???121n n收斂 ???11n n發(fā)散 )0( 71????ananpn例解 ananaupnnnpnnnnn ???? ?????? )(l i ml i ml i m?故 ,1,1)1( 時即時當 ?? ?a 級數(shù)收斂 ,1,1)2( 時即時當 ?? ?a 級數(shù)發(fā)散 ,1,1)3( 時即時當 ?? ?a 根值審斂法失效 但此時級數(shù)為 ?????? ??? 發(fā)散時當收斂時當級數(shù),1,111 ppnPnp第三節(jié) 絕對收斂與條件收斂 一、交錯級數(shù)及其審斂法 : 正、負項 交錯 的級數(shù)稱為交錯級數(shù) . ?nnnnnn uu ??????? ??111 )1()1( 或2 . 萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件 : ( ⅰ ) ),3,2,1(1????nuunn。( ⅱ ) 0lim ???nnu , 則級數(shù)收斂 , 且其和1us ? , 其余項 nr 的絕對值 1??nnur . )0( ?nu其中證明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???又)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???1u?,01 ??? nn uu?.lim 12 uss nn ??? ?? ,0lim 12 ???? nn u?,2 是單調增加的數(shù)列 ns,2 是有界的數(shù)列 ns)(limlim 12212 ?????? ??? nnnnn uss ,s?., 1uss ?? 且級數(shù)收斂于和),( 21 ????? ?? nnn uur余項,21 ???? ?? nnn uur滿足收斂的兩個條件 , .1??? nn ur定理證畢 . 例 8 判別級數(shù) ??? ??2 1)1(nnnn的收斂性 . 解 2)1(2)1()1( ?????? xxxxx?)2(0 ?? x,1 單調遞減故函數(shù) ?x x ,1??? nn uu1limlim ?? ???? nnunnn又 .0? 原級數(shù)收斂 . 證明 un 單調減的方法 : 01 ??? nn uu11 ??nnuu？ ？ 0)()( ??? xfnfu n 考察？ 二、絕對收斂與條件收斂 定義 : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù) . 定理 若 ??? 1nnu 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂 .證明 ),2,1()(21 ???? nuuv nnn令,0?nv顯然 ,nn uv ?且 ,1收斂????nnv),2(11?? ??????nnnnn uvu?又 ????1nnu 收斂 .上定理的作用： 任意項級數(shù) 正項級數(shù) 定義 : 若 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 為絕對收斂 。若 ??? 1nnu 發(fā)散 , 而 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 為條件收斂 .例 8 判別級數(shù) ??? 12s i nn nn的收斂性 . 解 ,1si n22 nnn ?? ,112 收斂而 ???n n,s i n12????n nn 收斂故由定義知原級數(shù)絕對收斂 . 將正項級數(shù)的比值審斂法和根值審斂法應用于判定任意項級數(shù)的斂散性可得到如下定理： 定理 設有級數(shù) ???1nnu????? nnn uu 1lim)||l i m( ???? n nn u或 則 1?? ????1nnu 絕對收斂 1?? ????1nnu 發(fā)散 1?? 可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散 如 ,1)1(1 2? ???nnn ,1)1(1? ???nnn?????11)1(nn注意 一般而言，由 發(fā)散，并不能推出 ???1||inu???1inu 發(fā)散 如 ????11)1(nnn???11i n發(fā)散 但 收斂 ????11)1(nnn若
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