正項級數(shù)收斂性判別法的推廣本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 05:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)發(fā)散證明：令，由定理知 與同收斂，與同收斂，所以與同收斂所以 即 =當(dāng) 當(dāng) 時，,故級數(shù)收斂，從而收斂。當(dāng) 時，故級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散．證明完畢．2．1．2應(yīng)用舉例例1：考察級數(shù)是否收斂．解: 由定理，取，當(dāng)時，級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散．例2：考察級數(shù)是否收斂．解：又因為 =1而 即所以級數(shù)發(fā)散．例3：討論級數(shù)的斂散性．解：本題利用達(dá)朗貝爾判別法無法判斷，并且不容易積分，所以利用積分判別法也不能解決，由定理，取，則所以，該級數(shù)收斂．2．2達(dá)朗貝爾判別法的第二種推廣與應(yīng)用2．2．1達(dá)朗貝爾判別法的第二種推廣定理兩個正項級數(shù)和，如果從某項起下列不等式成立： （1） 則級數(shù)收斂那么級數(shù)一定收斂，級數(shù)發(fā)散那么級數(shù)一定發(fā)散．證明： 任取一自然數(shù)，使得p=,設(shè)引理中的不等式（1）對于任意的恒成立，可以把引理中的不等式（1）變形為：,即 （i=0, 1，2，）令 ，則(1) 當(dāng)時，成立(2) 當(dāng)時，可將n寫成，則其中一定有．若時，則成立．若時，則可將寫成，其中，使得，若，不成立，則要繼續(xù)進(jìn)行下去，經(jīng)過有限次總能得到．使得從而得到：成立因此 ，恒有成立由比較判別法知：若級數(shù)收斂，那么級數(shù)一定收斂，若級數(shù) 發(fā)散，那么級數(shù) 一定發(fā)散證明完畢下面根據(jù)定理1，推廣出一個關(guān)于正項級數(shù)收斂的判別法，以定理的形式敘述如下：定理2 對于正項級數(shù)，若，則(1) 當(dāng)p時，級數(shù)收斂(2) 當(dāng)p時，級數(shù)發(fā)散證明：（1）當(dāng)p時，當(dāng)時，有 和 又因為 ，所以可令，使令，那么（因為s1）級數(shù)收斂，且當(dāng)n充分大時有 成立又因為 ，顯然 對n充分大時有 和那么根據(jù)引理2，級數(shù)收斂（2）當(dāng)p時，對于正整數(shù)使，當(dāng)時，有 和 令， 則 ，而 ，故 和 成立又 是發(fā)散的，由定理1得 發(fā)散將定理2推廣到一般的形式，敘述如下：定理3 關(guān)于正項級數(shù)與，若存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時，不等式成立，則(1) 若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；(2) 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散證明：由條件知，若存在自然數(shù)N，當(dāng)時，不等式成立，不妨取自然數(shù)，并令M=，當(dāng)時，；當(dāng)時，則唯一存在一個自然數(shù),使，故若p，則；若p,則唯一存在一個自然數(shù)，使，其中，于是且由于，經(jīng)過有限步，假設(shè)第s步,必有，于是所以當(dāng)級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；當(dāng)級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散證明完畢定理3的推論：推論1 給定正項級數(shù)，若，則 （1）時，收斂； （2）時，發(fā)散證明：（1）當(dāng)時，令 ，則存在實數(shù)r1，使得，令 ，，于是 ，當(dāng) 時，有因為級數(shù) 收斂，由定理知，級數(shù)收斂（2）當(dāng) 時，令，，……………．于是 ，當(dāng)時，有又因為級數(shù)發(fā)散，定理知級數(shù)發(fā)散2．2．2應(yīng)用舉例例1論是否收斂解：當(dāng)x=e時，用達(dá)朗貝爾判別法不能斷定級數(shù)的斂散性利用 此時 當(dāng)x=e時，由定理2得，級數(shù)發(fā)散例2：討論是否收斂解 令 ， 則根據(jù)定理2得到，收斂例3 證明級數(shù)收斂證明：令 因為
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