本科畢業(yè)論文-正定矩陣的性質及推廣(編輯修改稿)
2024-10-08 17:14 本頁面
【文章內容簡介】 in? ??，那么 ? ?1 , 2 , , 0ki in? ??， 即 kA 的特征值都大于 0，所以 ? ?kAk是 正 整 數 是正定矩陣 . 4 正定矩陣的應用 ?? 證明不等式 實對稱矩陣 A 稱為正定矩陣，是指如果實二次型 TXAX 正定， ? ?12, , ,? TnX x x x， 而二次型 TXAX 正定是指對任意 ? ?0 0 00 1 2, , ,TnX x x x? 0? ，恒有 00TX AX ? 0 ，所以可用實對稱矩陣中的正定矩陣來證明不等式 . 例 求證 44?xy xz ? 2 2 25 6 4x y z??? ?x y z、 、 為 不 全 為 零 的 實 數. 證明 設二次型 f ? ?,xyz = 2 2 25 6 4x y z? ? ? +44?xy xz ，則 f 的矩陣 A= 5 2 22 6 02 0 4?????????， A 的各階順序主子式 11a =5 0? ， 5226????????=26? 0 ， 5 2 22 6 02 0 4?????????=80 0? 所以 A 是負定 矩陣，則 f 0? ，即 44?xy xz ? 2 2 25 6 4x y z??. 求函數的極值 定義 ?? 假定 ? ?,f xy 具有二階連續(xù)偏導數，并記 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0000 x x x yx x x yfy x y yy x y y Pfff P f PHP fff P f P?? ?????? ??????, 它稱為 f 在 0P 的黑賽 ? ?Hesse 矩陣 . 定理 ?? 設二元函數 f 在點 ? ?0 0 0,P x y 的某鄰 域 ? ?0P 內 具有二階連續(xù)偏導數，且 0P 是 f 的穩(wěn)定點 .則當 ? ?0fHP是正定矩陣時， f 在 0P 取得極小值；當 ? ?0fHP是負定矩陣時， f 在 0P 取得極大值；當 ? ?0fHP是不定矩陣時， f 在 0P 不取極值 . 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 10 例 求函數 ? ? 22,2f x y x xy y x y? ? ? ? ?的極值點 . 解 由方程組 2 2 02 1 0xyf x yf x y? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 得 f 的穩(wěn)定點為 ? ?0 1,0P ， ? ?0xxfP=2， ? ?0 1xyfP?? ， ? ?0 1yxfP?? ， ? ?0 2yyfP? ，那么 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?000 2112x x x yf y x y yf P f PHP f P f P?? ??????? ???????， 是正定矩陣，所以 ? ?0 1,0P 是 f 的極小值點， ? ?1,0 1f ?? . 多元函數的情形： 定義 假設 ? ?12, , , nf x x x 具有二階連續(xù)偏導數，并記 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 2120 0 00 0 000 0 0nnn n n nx x x x x xx x x x x xfx x x x x xf P f P f Pf P f P f PHPf P f P f P???????， 它稱為 f 在 0P 的黑賽 ? ?Hesse 矩陣 . 定理 設多元函數 ? ?12, , , nf x x x 在點 ? ?0 0 00 1 2, , , nP x x x的某鄰域 ? ?0P 內具有二階連續(xù)偏導數，且 0P 是 f 的穩(wěn)定點 ? ?0 0fP在 點 的 一 階 偏 導 數 全 為. 則當 ? ?0fHP是正定矩陣時， f 在 0P 取得極小值；當 ? ?0fHP是負定矩陣時， f 在 0P 取得極大值；當 ? ?0fHP是不定矩陣時， f 在 0P 不取極值 . 例 求函數 ? ? 321232231321 212, xxxxxxxxxf ????? 的極值 . 解 由方程組 ????????????????????????02201220123331222211xxfxxxfxxxf 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 11 得 f 的穩(wěn)定點為 ? ?1,0,01 ??A ， ? ?1,144,242 ???A ，又 f 的二階偏導數為1212 6xxf ???，12212 ??? xx f ， 2222 ???xf ， 0322 ??? xxf ， 2232 ???xf ， 0312 ???xxf . 所以 ? ????????????200021201201AH f， 其順序主子式分別為 0， 0144212 120 ?????????， 02 8 820002120120????????????? ，所以 ? ?1AHf 是不定矩陣， f 在 1A 點處不取極值 . ? ????????????20002120121 4 42AH f ， 其順序主子式分別為 0144? ， 0144212 12144 ????????， 02 8 820002120121 4 4???????????? ，所以 ? ?2AHf是正定矩陣，由定理 可知， f 在 2A 點處取極小值，極小值為 ? ? 69131,144,24 ????f . 多項式因式分解 定理 ?? 一個實二次型可以分解為兩個實系數的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于 2且符號差為 0 ，或秩等于 1. 該定理為利用二次型進行二次多項式因式分解提供了理論依據，同時給出了判斷能否分解的方法，并且可以很快得到分解式 . 例 試判斷下列多項式在 R上能否進行因式分解，若能，分解之 . ??1 ? ? 221 2 1 2 2 1, 2 2 3 1f x x x x x x? ? ? ? ? ??2 ? ? 221 2 1 2 2 1 2, 3 2 4 1f x x x x x x x? ? ? ? ? ? 解 ??1 令 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3 3, , 2 2 3g x x x x x x x x x x? ? ? ? ?，則 ? ?12,f x x = ? ?12, ,1g x x ，只需洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 12 考慮 ? ?1 2 3,g x x x 的秩和符號差， g 所對應的矩陣為31020 2 13 112??????????0? ，所以 ? ?1 2 3,g x x x 的秩為 3，故 ? ?1 2 3,g x x x 不能分解 ,所以 ? ?12,f x x 不能分解 . ??2 令 ? ? 2 2 21 2 3 1
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