【文章內容簡介】 會先從指數函數的概念中推出類似的矩陣指數函數的性質，并對它們進行一一證明。首先，齊次線性微分方程組可以簡單的表示為 （）這里是常數矩陣。本文將運用代數的方法尋求（）的一個基解矩陣。為了求解（）的基解矩陣，需要定義矩陣指數。如果為一個是常數矩陣，那么我們可以將定義為下面的矩陣級數的和， （）其中是指階的單位矩陣，矩陣是的次冪。特別的，在這里，我們可以設定。這個級數對于所有的都是收斂的，所以是個確定的矩陣。特別的，對所有的元都為的零矩陣，有。此時，若令代入（）中這與十分相似，但是此時并不能確定二者關系如何，接下來，會對二者的關系進行討論。易知對于一切正整數，有，又因為任意矩陣，是一個確定的實數，所以數值級數是收斂的（上式和為）。假設矩陣級數任意項的范數都小于相對應的收斂數值級數的相應項，那么我們可以推得此矩陣級數為收斂的，所以（）先對所有矩陣A全是絕對收斂的。進一步指出，級數 （）在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。實際上，相對所有正整數k，當（c為一個正常數）時，可以存在，而數值級數是收斂的，所以（）是一致收斂的。因為（）是一致收斂的，所以可以對（）進行求導。，即，則 （）事實上，由于矩陣級數（）是絕對收斂的，因而關于絕對收斂數值級數運算的一些定理，其中包含級數的收斂性不受項的重新排列影響和級數的和以及乘法運算的性質等都能夠運用到這里來，由二項式定理以及可得到 （）另一方面，由絕對收斂級數的乘法定理得 （）比較（）以及（），推得（）.，存在，且實際上，和是可交換的，所以在（）中，令，本文推得，因此，可以推得.如果T是非奇異矩陣，則. ()事實上這就是本文所需要證明的。在之前的兩個小節(jié)中，本文已經證明了（）的收斂性同時也介紹了矩陣指數相關性質。在本節(jié)，會闡明矩陣指數函數與常系數線性微分方程的基解矩陣的關系（），并對此關系進行證明。 矩陣 （）是（）的基解矩陣。且.證明 有定義易知.（）對求導，我們得到這就表明，是（）的解矩陣。又有。因此是（）的基解矩陣。證畢。，我們能夠使用此基解矩陣得知（）的解全擁有以下形式 （）這里是一個常數向量。由此，求解（）基解矩陣的問題便可以轉化為對矩陣指數函數的求解。 矩陣指數函數的性質在上一章矩陣指數中我們從求解常系數線性微分方程組的過程中認識到了矩陣指數的概念，并且了解到了（）就是就是常系數微分方程組的基解矩陣。在本章開始我們將簡單的介紹矩陣函數的性質，再對矩陣指數函數的性質進行描述與證明. 假設和是兩個互相不一樣的多項式，在這里是一個階矩陣，那么他的充要條件就是在的影譜上和的值對應相等，即通過利用矩陣多項式，以下將寫出矩陣函數的定義． 設在階矩陣的影譜上函數有定義，即它的值是確定值．如果是一個多項式，同時符合那么矩陣函數可以定義作。定理 設，在這里矩陣的譜半徑為，如果函數的冪級數的表示式是，則當時 可以推出很多關于矩陣函數的冪級數表示式，列舉其中3個；。若把矩陣指數函數中換為矩陣，會發(fā)現，此時矩陣指數函數便變成了指數函數，作為基本函數之一的指數函數，同時也作為特殊的矩陣指數函數，指數函數的性質在矩陣指數函數中是否可以應用，接下來，本文將會以此對矩陣指數函數的性質一一列舉出來，并進行論證。 設，是復值函數，并且在有定義，那么矩陣指數函數，擁有下面7條性質：（1）（2）（3）如果和可交換，也就是說當時，有；（4）對于任何矩陣，總是可逆的，同時；（5）；（6），其中是的跡。（7）設定是Hermite正定矩陣，那么有唯一Hermite矩陣，使。證明 (1) 知若命，則但由于，于是有反之亦然．（2） 知（3）在滿足的情況下，二項式公式成立，因此在證明(1)過程中的式子可以整理為或故。（4）矩陣指數函數滿足，根據(1)得故（5） 矩陣指數函數的冪級數表示式對于給定矩陣和對所有都是絕對收斂的，同時滿足對所有的都是一致收斂，因此（6）設，在這里為的Jordan標準型，則，所以（7） 因是正定的Hermite陣，其特征值均為正數。因此令 ，那么在上有定義，又設 ，為整函數， ，又也是整函數，若， ，從而 .同時．如果將表示為矩陣的共軛轉置，即知，且．令，唯一，并有假使是正規(guī)矩陣，可以推導得 （）另一方面，若符合式（），那么是正規(guī)矩陣，即 設，是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為成立。接下來研究的問題是：如果一個非正規(guī)的矩陣符合式()的條件，那么這個矩陣擁有什么樣的結構呢?為了研究此問題，需要提前證明一個引理引理 1 設， 為一個復值函數，定義域．矩陣方程 能夠求解的充分必要的條件為：對任何，總存在，使得。證明 必要性．設存在 ，有．記的Jordan標準形是式中：是Jordan塊的階數，由引理可知，從而有 ，即存在，有充分性．設對任何，方程有解存在．令的Jordan標準形是于是存在可逆矩陣，使,于是作式中：從而有故知 ()若令，則式()中. 設，式(7)成立的充要條件是：存在酉矩陣，使得 ()式中：是可以對角化的矩陣．證明 必要性．設式(7)成立， 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣，使得 （）式中： 是單位陣。即式中：.易證方程有解存在，可逆，故，而可對角化，從而是可以對角化的充分性 顯然。4 矩陣指數函數的計算方法矩陣指數函數的計算，即的計算有很多種計算方法。日常的計算中有許多常用的方法。本文在本節(jié)會提到的三種方法，此三種方法并沒確定矩陣，因此對矩陣并沒有特殊的要求，即矩陣并不是特殊矩陣。因此可以解決一般性情況，前二種方法建立在微分方程的基礎上，主要利用微分方程來對進行計算，但解法與基本思路并不相同；第三種方法從運用到了Jordon表示式的知識，主要根據矩陣函數的Jordon表示式的變化求解，此方法經過計算的Jordon表示式計算，但是變化Jordon標準形階段有點復雜，而且整理之后變換矩陣也需要計算，這里所需計算相當大，并且如果矩陣的階數較大，這里所需的計算也會變復雜．雖然如此，但是此方法也有優(yōu)點，計算步驟很清楚，過程也很明了，容易理解，除了計算，在使用時也很方便． Hamilton‐Cayley 求解法在這節(jié)探究的計算方法使用了Hamilton‐， 能夠推知是一個初值條件的微分方程的解，通過求解這個微分方程