矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-24 22:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 會先從指數(shù)函數(shù)的概念中推出類似的矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并對它們進(jìn)行一一證明。首先，齊次線性微分方程組可以簡單的表示為 （）這里是常數(shù)矩陣。本文將運(yùn)用代數(shù)的方法尋求（）的一個(gè)基解矩陣。為了求解（）的基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù)。如果為一個(gè)是常數(shù)矩陣，那么我們可以將定義為下面的矩陣級數(shù)的和， （）其中是指階的單位矩陣，矩陣是的次冪。特別的，在這里，我們可以設(shè)定。這個(gè)級數(shù)對于所有的都是收斂的，所以是個(gè)確定的矩陣。特別的，對所有的元都為的零矩陣，有。此時(shí)，若令代入（）中這與十分相似，但是此時(shí)并不能確定二者關(guān)系如何，接下來，會對二者的關(guān)系進(jìn)行討論。易知對于一切正整數(shù)，有，又因?yàn)槿我饩仃?，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以數(shù)值級數(shù)是收斂的（上式和為）。假設(shè)矩陣級數(shù)任意項(xiàng)的范數(shù)都小于相對應(yīng)的收斂數(shù)值級數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，那么我們可以推得此矩陣級數(shù)為收斂的，所以（）先對所有矩陣A全是絕對收斂的。進(jìn)一步指出，級數(shù) （）在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。實(shí)際上，相對所有正整數(shù)k，當(dāng)（c為一個(gè)正常數(shù)）時(shí)，可以存在，而數(shù)值級數(shù)是收斂的，所以（）是一致收斂的。因?yàn)椋ǎ┦且恢率諗康?，所以可以對（）進(jìn)行求導(dǎo)。，即，則 （）事實(shí)上，由于矩陣級數(shù)（）是絕對收斂的，因而關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運(yùn)算的一些定理，其中包含級數(shù)的收斂性不受項(xiàng)的重新排列影響和級數(shù)的和以及乘法運(yùn)算的性質(zhì)等都能夠運(yùn)用到這里來，由二項(xiàng)式定理以及可得到 （）另一方面，由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得 （）比較（）以及（），推得（）.，存在，且實(shí)際上，和是可交換的，所以在（）中，令，本文推得，因此，可以推得.如果T是非奇異矩陣，則. ()事實(shí)上這就是本文所需要證明的。在之前的兩個(gè)小節(jié)中，本文已經(jīng)證明了（）的收斂性同時(shí)也介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性質(zhì)。在本節(jié)，會闡明矩陣指數(shù)函數(shù)與常系數(shù)線性微分方程的基解矩陣的關(guān)系（），并對此關(guān)系進(jìn)行證明。 矩陣 （）是（）的基解矩陣。且.證明 有定義易知.（）對求導(dǎo)，我們得到這就表明，是（）的解矩陣。又有。因此是（）的基解矩陣。證畢。，我們能夠使用此基解矩陣得知（）的解全擁有以下形式 （）這里是一個(gè)常數(shù)向量。由此，求解（）基解矩陣的問題便可以轉(zhuǎn)化為對矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在上一章矩陣指數(shù)中我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過程中認(rèn)識到了矩陣指數(shù)的概念，并且了解到了（）就是就是常系數(shù)微分方程組的基解矩陣。在本章開始我們將簡單的介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì)，再對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行描述與證明. 假設(shè)和是兩個(gè)互相不一樣的多項(xiàng)式，在這里是一個(gè)階矩陣，那么他的充要條件就是在的影譜上和的值對應(yīng)相等，即通過利用矩陣多項(xiàng)式，以下將寫出矩陣函數(shù)的定義． 設(shè)在階矩陣的影譜上函數(shù)有定義，即它的值是確定值．如果是一個(gè)多項(xiàng)式，同時(shí)符合那么矩陣函數(shù)可以定義作。定理 設(shè)，在這里矩陣的譜半徑為，如果函數(shù)的冪級數(shù)的表示式是，則當(dāng)時(shí) 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示式，列舉其中3個(gè)；。若把矩陣指數(shù)函數(shù)中換為矩陣，會發(fā)現(xiàn)，此時(shí)矩陣指數(shù)函數(shù)便變成了指數(shù)函數(shù)，作為基本函數(shù)之一的指數(shù)函數(shù)，同時(shí)也作為特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在矩陣指數(shù)函數(shù)中是否可以應(yīng)用，接下來，本文將會以此對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一列舉出來，并進(jìn)行論證。 設(shè)，是復(fù)值函數(shù)，并且在有定義，那么矩陣指數(shù)函數(shù)，擁有下面7條性質(zhì)：（1）（2）（3）如果和可交換，也就是說當(dāng)時(shí)，有；（4）對于任何矩陣，總是可逆的，同時(shí)；（5）；（6），其中是的跡。（7）設(shè)定是Hermite正定矩陣，那么有唯一Hermite矩陣，使。證明 (1) 知若命，則但由于，于是有反之亦然．（2） 知（3）在滿足的情況下，二項(xiàng)式公式成立，因此在證明(1)過程中的式子可以整理為或故。（4）矩陣指數(shù)函數(shù)滿足，根據(jù)(1)得故（5） 矩陣指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)表示式對于給定矩陣和對所有都是絕對收斂的，同時(shí)滿足對所有的都是一致收斂，因此（6）設(shè)，在這里為的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，則，所以（7） 因是正定的Hermite陣，其特征值均為正數(shù)。因此令 ，那么在上有定義，又設(shè) ，為整函數(shù)， ，又也是整函數(shù)，若， ，從而 .同時(shí)．如果將表示為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，即知，且．令，唯一，并有假使是正規(guī)矩陣，可以推導(dǎo)得 （）另一方面，若符合式（），那么是正規(guī)矩陣，即 設(shè)，是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為成立。接下來研究的問題是：如果一個(gè)非正規(guī)的矩陣符合式()的條件，那么這個(gè)矩陣擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢?為了研究此問題，需要提前證明一個(gè)引理引理 1 設(shè)， 為一個(gè)復(fù)值函數(shù)，定義域．矩陣方程 能夠求解的充分必要的條件為：對任何，總存在，使得。證明 必要性．設(shè)存在 ，有．記的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是式中：是Jordan塊的階數(shù)，由引理可知，從而有 ，即存在，有充分性．設(shè)對任何，方程有解存在．令的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是于是存在可逆矩陣，使,于是作式中：從而有故知 ()若令，則式()中. 設(shè)，式(7)成立的充要條件是：存在酉矩陣，使得 ()式中：是可以對角化的矩陣．證明 必要性．設(shè)式(7)成立， 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣，使得 （）式中： 是單位陣。即式中：.易證方程有解存在，可逆，故，而可對角化，從而是可以對角化的充分性 顯然。4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，即的計(jì)算有很多種計(jì)算方法。日常的計(jì)算中有許多常用的方法。本文在本節(jié)會提到的三種方法，此三種方法并沒確定矩陣，因此對矩陣并沒有特殊的要求，即矩陣并不是特殊矩陣。因此可以解決一般性情況，前二種方法建立在微分方程的基礎(chǔ)上，主要利用微分方程來對進(jìn)行計(jì)算，但解法與基本思路并不相同；第三種方法從運(yùn)用到了Jordon表示式的知識，主要根據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解，此方法經(jīng)過計(jì)算的Jordon表示式計(jì)算，但是變化Jordon標(biāo)準(zhǔn)形階段有點(diǎn)復(fù)雜，而且整理之后變換矩陣也需要計(jì)算，這里所需計(jì)算相當(dāng)大，并且如果矩陣的階數(shù)較大，這里所需的計(jì)算也會變復(fù)雜．雖然如此，但是此方法也有優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算步驟很清楚，過程也很明了，容易理解，除了計(jì)算，在使用時(shí)也很方便． Hamilton‐Cayley 求解法在這節(jié)探究的計(jì)算方法使用了Hamilton‐， 能夠推知是一個(gè)初值條件的微分方程的解，通過求解這個(gè)微分方程
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