【文章內(nèi)容簡介】 Aee??? 實際上， A 和 A? 是可交換的，所以在（ ）中，令 BA?? ，本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E? ? ?? ? ?， 因此，可以推得 1( ) ( )AAee??? . 如果 T 是非奇異矩陣，則 1 1()T AT Ae T e T? ?? . () 事實上 ? ?1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T??????????????????? ???????? 這就是本文所需要證明的。 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 10 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 在之前的兩個小節(jié)中，本文已經(jīng)證明了（ ）的收斂性同時也介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性質(zhì)。在本節(jié)，會闡明矩陣指數(shù)函數(shù)與常系數(shù)線性微分方程的基解矩陣的關(guān)系（即定理 ），并對此關(guān)系進行證明。 定理 矩陣 () Atte?? （ ） 是（ ）的基解矩陣。且 (0) E??. 證明 有定義易知 (0) E??.（ ）對 t 求導，我們得到 2 3 2 139。( ) ( ) 39。1 ! 2 ! ( 1 ) !()AtkkAtteA t A t A tAkAeAt?? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? 這就表明， ()t? 是（ ）的解矩陣。 又有 det (0) det 1E? ? ?。 因 此 (1)? 是（ ）的基解矩陣。證畢。 根據(jù)定理 ，我們能夠使用此基解矩陣得知（ ）的解 ()t? 全擁有以下形式 ( ) ( )Att e c? ? （ ） 這里 c 是一個常數(shù)向量。 由此，求解（ ）基解矩陣的問題便可以轉(zhuǎn)化為對矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在上 一章矩陣指數(shù)中我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過程中認識到了矩陣指數(shù)的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系數(shù)微分方程組的基解矩陣。 在本章開始我們將簡單的介紹矩陣函數(shù)的性質(zhì)，再對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行描述與證明 . 矩陣函數(shù) 定理 假設(shè) ()p? 和 ()q? 是兩個互相不一樣的多項式，在這里 A 是一個 n 階矩陣，那么 ( ) ( )p A q A? 他的充要條件就是在 A 的影譜上 ()p? 和 ()q? 的值對應(yīng)相等，即 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 11 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , ..., 1 )kki i ip q i d??? ? ? 通過利用矩陣多項式，以下將寫出矩陣函數(shù)的定義． 定義 設(shè)在 n 階矩陣 A 的影譜上函數(shù) ()fx有定義 ，即 () ( ) , ( 1 , 2 , . . . , 。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )k iif i s k d? ? ? ? 它的值是確定值．如果 ()p? 是一個多項式，同時符合 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , . . . , 。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )kki i if p i s k d??? ? ? ? 那么矩陣函數(shù) ()fA可以定義作 ( ) ( )f A p A? 。 定理 設(shè) nnAC?? ，在這里矩陣 A 的譜 ()fx半徑為 ? ，如果函數(shù) ()fx的冪級數(shù)的表示式是 0()kkkf x c x x ??????， 則當 ???? 時 0()kkkf A c A???? 根據(jù)定理 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示式，列舉其中 3 個 2112 ! !Ane E A A An? ? ? ? ???? ? ???； 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An ?? ? ? ??? ? ? ? ????。 2 4 21 1 1c os ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnA E A A An? ? ? ??? ? ? ? ???。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 若把矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 中 A 換為 11? 矩陣，會發(fā)現(xiàn)，此時矩陣指數(shù)函數(shù)便變成了指數(shù)函數(shù)，作為基本函數(shù)之一的指數(shù)函數(shù)，同時也作為特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在矩陣指數(shù)函數(shù)中是否可以應(yīng)用，接下來，本文將會以此對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一列舉出來，并進行論證。 定理 設(shè) , nnA B C ?? ， ()ef? ?? 是復值函數(shù)，并且在 ()A? 有定義， 那么矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，擁有下面 7 條性質(zhì)： 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 （ 1） () ,A A Ae e e C? ? ? ? ???? ? ? （ 2） c o s s in , ( 1 )iAe A i A i? ? ? ? （ 3）如果 A 和 B 可交換，也就是說當 AB BA? 時，有 A B B A A Be e e e e? ??； （ 4）對于任何矩陣 A ， Ae 總是可逆的，同時 1()AAee??? ； （ 5） ()At At Atd e Ae e Adt ??； （ 6） det( )At trAee? ，其中 11 22 nntr A a a a? ? ? ????是 A 的跡。 （ 7）設(shè)定 B 是 Hermite 正定矩陣，那么有唯一 Hermite 矩陣 Q ，使 QBe? 。 證明 (1) 由定理 知 ()000()!1 ( ) ( )!kkAkk m m K mkkmAekC A Ak?? ???????? ???????? ????? 若命 1km??，則 ()001( ) ( ) (1 ) !A m m llmmle C A A m?? ????? ???? ??? 但由于 ()!!mlm lmC lm? ??，于是有 ()00( ) ( )( ) ( )!!mlA A AmlAAe e eml? ? ? ???????????? 反之亦然． （ 2）由定理 知 02 3 42 4 3 5!1 1 12 ! 3 ! 4 !1 1 1 1( ) ( )2 ! 4 ! 3 ! 5 !c o s s inkkiAkAiekE iA A iA AE A A i A A AA i A???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? （ 3）在滿足 ()AB BA? 的情況下，二項式公式 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 0()kk m k m mkmA B C A B???? ? 成立，因此 0001 ()!1 ()!A B kmkm k m mkmme A BkC A Bk????????????? 在證明 (1)過程中的式子可以整理為 00!!mImIABmI??????或00!!mImIBAmI?????? 故 A B B A A Be e e e e? ??。 （ 4）矩陣指數(shù)函數(shù)滿足 0eE? ，根據(jù) (1)得 ()A A A Ae e e E? ? ??? 故 1()AAee??? （ 5） 矩陣指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)表示式對于給定矩陣 A 和對所有 t 都是絕對收斂的，同時滿足對所有的 t 都是一致收斂，因此 01100()!( 1) !!!kkAtkkkkIIIIIIAtAtd d A tedt dt kkA tkAtAIAtAIAeeA???????????? ?????????? ?????????? （ 6）設(shè) 1112( , , , )rA P J P P d ia g J J J P??? ? ???，在這里 J 為 A 的 Jordan 標 準型，則 12 1( , , , )iJJJAe P diag e e e P ?? ???， 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 1112 ! ( 1 ) !i i i iiiiiiiiJdde e e edeeeee? ? ? ????????????? ??????， 所以 12121 1 2 21 1 2 21d e t d e t d e t( ( , , , ) ) d e t( )d e t d e t d e tirrrrJJJAJJ Jrd d dd d dtr Ae P d ia g e e e Pe e ee e eee? ? ?? ? ??? ? ????? ???? ???? ????? （ 7） 因 B 是正定的 Hermite 陣，其特征值均為正數(shù)。 因此令 ( ) lnf ??? ，那么 ()f? 在 ()B? 上有定義， 又設(shè) ()ge?? ? ， ()g? 為整函數(shù)， ()B???? ， ()( ( )) fg f e ????? ， ()fBBe? ， 又 ()( ( )) fg f e ?? ? 也是整函數(shù)，若 ()B??? ， ()( ( )) fg f e ????? ， 從而 ()fBBe? . 同時 ( ) ( ( ))TTf B f B? ．如果將 HBB? 表示為矩陣 B 的共軛轉(zhuǎn)置， 即知 HBB? ，且 ( ( )) ( )Hf B f B? ． 令 ()Q f B? ， Q 唯一，并有 QBe? 假使 ()nA M C? 是正規(guī)矩陣， ()HA A Hee? ，可以推導得 ()HA A Hee? （ ） 另一方面，若 nnAC?? 符合式（ ），那么 Ae 是正規(guī)矩陣，即 定理 設(shè) nnAC?? ， Ae 是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為 ()HA A Hee? 成立。 接下來研究的問題 是：如果一個非正規(guī)的 矩陣 A 符合式 ()的條件，那么這個天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 矩陣 A 擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢 ?為了研究此問題，需要提前證明一個引理 引理 1 設(shè) nnAC?? ， ()fz為一個復值函數(shù)，定義域 fDC? ．矩陣方程 ()f X A?能夠求解的充分必要的條件為：對任何 ()aA?? ，總存在 fzD? ，使得 ()f z a? 。 證明 必要性． 設(shè)存在 ()nX M C? ，有 ()f X A? ． 記的 Jordan 標準形是 1 , d et 0XX PJ P P??? 式中： ? ?1212( ) , ( ) , . . . , ( )rX n n n rJ d ia g J z J z J z? in 是 Jordan 塊的階數(shù)， 1 ir?? ，由 引理 可知 ? ?? ?12112( ) ( ) ,( ( ) , .. ., ( ) )rnn n rA f x P diag J zf J z J z P ??? ， 從而有 ( ) ( ) , 1, 2 , ... ,kf z A k r???， 即存在 ()aA?? ，有 ()f z a? 充分性． 設(shè)對 任何 ()aA?? ，方程 ()f z a? 有解存在． 令 A 的 Jordan 標準形是 ? ?11 1 1 1 1 1( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . , ( )rA t r r r t rJ d ia g J a J a J a J a? 于是存在可逆矩陣 ()AP M C? ，使 ()f z a? ,于是作 ? ? 112, , ...,X X r xJ P d ia g X X X P ?? 式中： ( ) , 1 , 2 , ... , 。 1 , 2 , ... ,k k t kX M C k r i t? ? ? ? ?1( ) ( ) , . . . , ( ) , 1kk k k k t kf X d ia g J a J a k r? ? ? 從而有 ? ? 112( ) ( ) , ( ) . . . , ( )X x r xf J P d ia g f X f X f X P ?? ()AXJ f J? 天津科技大學