【正文】 根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義有 02 2 2 1 2 1002 2 1002 2 100!( 2 ) ! ( 2 1 ) !( 1 ) I ( 1 )( 2 ) ! ( 2 1 ) !( 1 ) ( 1 )( 2 ) ! ( 2 1 ) !( c os ) ( sin )c os sinsin c oskkAtkm m m mmmn n nnnn n nnnAtekA t A tmmt A tnnttIAnnt I t Atttt???????????????????????????? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?????? ???????????? A 為二階正交矩陣 ,運用矩陣指數(shù)函數(shù)展開式方法能夠計算出 Ate , 但是一般的矩陣指數(shù)函數(shù)計算式，此算法就不行了 . Laplace 變換法 本算法旨在運用 Laplace反變換，跳過矩陣指數(shù)函數(shù)特征值的計算以及矩陣的變化。接下來，本文將引入兩種特殊的方法矩陣指數(shù)函數(shù)展開法 ,Laplace變換法。(1 ) t e , ( 2) et t tf f f? ? ?,故 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計算方法 以上三種方法各有優(yōu)略，都可以用來計算矩陣指數(shù)函數(shù)。( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 39。( )()iiidiiiiiiiii ddfffdfffJfp????????????? ?????? 依據(jù)定理 ,計算矩陣指數(shù)函數(shù)就可利用矩陣函數(shù)的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型了． 計算步驟： 1. 求 A 的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形 ， 12( , , .. ., )rJ diag J J J? ； n 2. 由 J 寫出 12( ) ( ( J ) , ( J ) , ... , ( J ) )rf J di ag f f f? ，其中 (A) Arfe? ； 3. 由 J 計算變換矩陣 P ，其中 AP PJ? ； 4. 寫出 (A)f 的 Jordon 表示式 1(A ) P (J) Pff?? 把矩陣指數(shù)函數(shù) (A)f 所對應(yīng)的函數(shù) (x)f 代入 1P (J)Pf ? 即可． 例 1 有矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，對其求解，在這里 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 解： 求矩陣的初等因子： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 26 22 1 1 16 3 2 14 1 3 ( 1 ) ( 2)EA???? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?， 矩陣 A 的初等因子是 2( 1) ( 2)???? 故 A 的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形是 1 1 00 1 00 0 2J????????? 變換矩陣 P 和 1P? 分別為 1 1 12 3 21 1 2P???????????, 14 1 12 1 01 0 1P ?? ? ??????????, 且 (1 ) 39。( )()()iiidiiiiiiii ddpppdpppJp???????????? ?????? 若 J 為 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型， 12( , , .. ., )rJ diag J J J? ,則 12( ) ( ( ) , ( ) , ... , ( ) )rp J diag p J p J p J? . 這里假設(shè) A 是一個 n 階方陣， J 表示此方陣 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形，那么會有一個滿秩的矩陣 P，使得 1112( , , . . . , )rA P J P P d ia g J J J P???? ， 因此 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 112( ) ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) )rA P A P d ia g p J p J p J P ??? 為矩陣多項式 ()PA的 Jordon 表示式。39。(0 ) 1, 39。(0 ) 0 , 39。 由 定理 可知 112( ) ( ) ( ) ( )A t nnt e x t E x t A x t A ?? ? ? ? ? ???? 證畢． 例 1 有矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，對其求解，在這里 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 解： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 特征方程為： 2( ) de t( ) ( 1 ) ( 2)c E A? ? ? ?? ? ? ? ?，所以矩陣 A 的特征值為 1,1,2 ． 所以 ( 3 ) 2 1 039。( 0 ) 39。 )( 39。 令 112( ) ( ) ( ) ( ) nnt x t E x t A x t A ?? ? ? ? ????， 其中 ( ),1kx t k n??，是 n 階常系數(shù)線性微分方程 ( ) ( 1 ) 39。( 0 ) 039。 通常矩陣 A 有重復(fù)的特征值，假設(shè) A 有 k 個互不相同的特征值 12, ,..., k? ? ? ， 每個特征值的重復(fù)次數(shù)是 1 2 1 2, , ... , ( ... )kks s s n s s s? ? ? ? 因此微分方程 ( ) ( ) 0c D t??的通解是 : 11 1 111 1 1 2 1 1 2( ) ( )kk kstst s k k k sC tC t C e C tC t C e ?? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ?. 同樣，由初始條件 ( 1 ) 1( 0) , 39。1 1 0 0nnnc c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ?， ( 1 ) 1( 0) , 39。( 0) ( 0) 0nx x x ?? ? ??? ? ? 易知此方程的解為 () 0xt? ,所以 ( ) 0,t t C? ? ? ，因此 12??? 。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ? () 的唯一解。本文在本節(jié)會提到的三種方法，此三種方法并沒確定 A 矩陣，因此對矩陣 A 并沒有特殊的要求，即矩陣 A 并不是特殊矩陣。 1 , 2 , ... ,k k t kX M C k r i t? ? ? ? ?1( ) ( ) , . . . , ( ) , 1kk k k k t kf X d ia g J a J a k r? ? ? 從而有 ? ? 112( ) ( ) , ( ) . . . , ( )X x r xf J P d ia g f X f X f X P ?? ()AXJ f J? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 故知 ? ?11112()( ) , ( ) .. ., ( )A A A A X A rA P J P P f J PP d iag f X f X f X P?????? () 若令 ? ?12, , ..., rX diag X X X? ，則 ()A f X? 式 ()中 AXP PP? . 定理 設(shè) nnAC?? ，式 (7)成立的充要條件是：存在酉矩陣 nnQC?? ，使得 ? ? 112, , ..., sA Q diag A A A Q ?? () 式中： ,1tA t s?? 是可以對角化的矩陣． 證明 必要性． 設(shè)式 (7)成立， Ae 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣 Q ，使得 AHe QTQ? （ ） 式中： ? ?? ?1 1 2 212, , ..., , ..., ( ) , ( )n n s nss nj njT diag I I Idiag T T T T I M C? ? ????? ? ? 是單位陣， 11,njjj s n n?? ? ??。 （ 4）矩陣指數(shù)函數(shù)滿足 0eE? ，根據(jù) (1)得 ()A A A Ae e e E? ? ??? 故 1()AAee??? （ 5） 矩陣指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)表示式對于給定矩陣 A 和對所有 t 都是絕對收斂的，同時滿足對所有的 t 都是一致收斂，因此 01100()!( 1) !!!kkAtkkkkIIIIIIAtAtd d A tedt dt kkA tkAtAIAtAIAeeA???????????? ?????????? ?????????? （ 6）設(shè) 1112( , , , )rA P J P P d ia g J J J P??? ? ???，在這里 J 為 A 的 Jordan 標(biāo) 準(zhǔn)型，則 12 1( , , , )iJJJAe P diag e e e P ?? ???， 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 1112 ! ( 1 ) !i i i iiiiiiiiJdde e e edeeeee? ? ? ????????????? ??????， 所以 12121 1 2 21 1 2 21d e t d e t d e t( ( , , , ) ) d e t( )d e t d e t d e tirrrrJJJAJJ Jrd d dd d dtr Ae P d ia g e e e Pe e ee e eee? ? ?? ? ??? ? ????? ???? ???? ????? （ 7） 因 B 是正定的 Hermite 陣，其特征值均為正數(shù)。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 若把矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 中 A 換為 11? 矩陣，會發(fā)現(xiàn)，此時矩陣指數(shù)函數(shù)便變成了指數(shù)函數(shù)，作為基本函數(shù)之一的指數(shù)函數(shù)，同時也作為特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在矩陣指數(shù)函數(shù)中是否可以應(yīng)用，接下來，本文將會以此對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一列舉出來，并進(jìn)行論證。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )k iif i s k d? ? ? ? 它的值是確定值．如果 ()p? 是一個多項式，同時符合 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , . . . , 。 根據(jù)定理 ，我們能夠使用此基解矩陣得知（ ）的解 ()t? 全擁有以下形式 ( ) ( )Att e c? ? （ ） 這里 c 是一個常數(shù)向量。1 ! 2 ! ( 1 ) !()AtkkAtteA t A t A tAkAeAt?? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? 這就表明， ()t? 是（ ）的解矩陣。在本節(jié)，會闡明矩陣指數(shù)函數(shù)與常系數(shù)線性微分方程的基解矩陣的關(guān)系（即定理 ），并對此關(guān)系進(jìn)行證明。 因為（ ）是一致收斂的，所以可以對（ ）進(jìn)行求導(dǎo)。 關(guān)于級數(shù) Ate 的收斂性 易知對于一切正整數(shù) k ，有 !!kk AAkk?， 又因為任意矩陣 A ， A 是一個確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù) 22 ! !mAAEAm? ? ? ???? ? ??? 是收斂的（上式和為 1 Ane?? ）。特別的，對所有的元都為 0 的零矩陣 0 ，有 0eE? 。 為了求解（ ）的基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù) Ae 。在 節(jié) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)中，本文將先簡單介紹矩陣函數(shù)的概念，在介紹矩陣指數(shù)函數(shù)時，會先從指數(shù)函數(shù)的概念中推出類似的矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并對它們進(jìn)行一一證明。x Ax? 的基解矩陣的求解密切相關(guān)。其形式如下： 211 1 1212 2 2213 3 3211111nnnnm m mV? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????????