【正文】 ???? ?????????? 在范德蒙矩陣中，矩陣的行數(shù)是 m，矩陣的列數(shù)是 n，則矩陣擁有最大的秩min( , )mn 。明顯可以看出Hermitian 矩陣是實(shí)對(duì)稱陣的推廣。 0zMz? 。z ，就可以將 M 稱作一個(gè)正定矩陣。 對(duì)稱 正定雙線性形式（復(fù)域中則對(duì)應(yīng) 埃爾米特 正定雙線性形式）是和正定矩陣相對(duì)應(yīng)的 線性算子 。 ( ) ( )x A t x f t?? （ ） 如果 () 0ft? 則稱（ ）為非齊次線性的， 如果 () 0ft? 則為齊次線性的，此時(shí)方程形式為 39。 ()kS 可以被稱為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的部分和，如 果此矩陣序列是收斂，同時(shí)此矩陣序列有極限 S ，即 lim kk SS?? ?，則矩陣級(jí)數(shù)1kk A???可以被證為收斂的，同時(shí) S 可以稱為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的和，記作1kk AS?? ??。 依據(jù)高等代數(shù)的基本定理，在復(fù)數(shù)域的范圍里可以有如下證明： 性質(zhì) 設(shè) nnAC?? , 12, ,..., r? ? ? 是 A 中的 r 個(gè)特征值，他們互不相同， ()A?? 為矩陣 A 的最小多項(xiàng)式同時(shí) 1212( ) ( ) ( ) ( ) rd d dAr? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?,其中 11 ( 1 , 2 , , ) , riiid i r d m?? ? ??? ?? 如果函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù)值擁有足夠多階，同時(shí)一下 m 個(gè)值 (稱 ()fx在影譜上的值 ) ( 1 )39。 矩陣的譜 矩陣 A 通過數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出來的特征值的集合就是一個(gè)矩陣 的譜，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來也就是： ??A? 表示 A 的譜，即 ? ? ? ?AA? ? ?? 是 的 特 征 值； 矩陣的譜半徑 設(shè) A 是階數(shù)為 nn? 的矩陣，其中矩陣的特征值是 i? ， 1,2, ,in? ，若寫作數(shù)學(xué)表達(dá)式也就是 ： ? ? ? ?m a xAA? ? ?? ?? 是 的 特 征 值為 A 的譜半徑。本論文的題目是矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算，所以主要論述便是性質(zhì)和計(jì)算。 1892 年，梅茨勒（ Metzler）使用并發(fā)展了矩陣函數(shù)及其相關(guān)概念并用它們整理出矩陣冪級(jí)數(shù)的形式。除此之外，凱萊（ Cayley）亦在報(bào)告里寫下了方陣的特征方程以及特征根還有矩陣的少許基本結(jié)論。在這一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中， 1850 年， 英國(guó) 的 詹姆斯 （ James Joseph Sylvester）最開始使用矩陣這個(gè)名字將數(shù)字構(gòu)成的矩形陣列和最開始的行列式分離。隨后，由于研究的需要，行數(shù)等于列數(shù)的行列式在解決重要的數(shù)學(xué)問題是有很大的局限性，無法滿足實(shí)際需要。萊布尼茨 （ 1693 年）（微積分理論的提出者之一）在大致相同的時(shí)地獨(dú)自建立了行列式理論。 在正常的邏輯中，矩陣系統(tǒng)這個(gè)概念應(yīng)該在行列式之前被提出，但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)歷史中卻正好相反。 實(shí)際上，雖然矩陣（ Matrix）這個(gè)概念誕生于 19 世紀(jì)，矩陣本身卻有著非常古老的歷史，早在很久以前就已發(fā)現(xiàn)幻方以及古老的 拉丁方陣 等關(guān)于矩陣方面相關(guān)研究記錄。 關(guān) 鍵詞： 矩陣指數(shù)函數(shù)； Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形； 微分方程組 II ABSTRACT Matrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in plexity, all of them need to pute the matrix eigenvalues. The calculation on highorder matrix or plex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality. Key words: Matrix exponential function。本文的重點(diǎn)是討論矩陣指數(shù)函數(shù)的五種計(jì)算方法。 畢業(yè)論文 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算 PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：學(xué)士 論文提交日期： I 摘 要 矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，而矩陣函數(shù)中的一個(gè)最重要的函數(shù)就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它廣泛地應(yīng)用于自控理論和微分方程。其中，前三種方法廣泛適用于各種矩陣，雖然計(jì)算過程復(fù)雜程度不同，但都需要計(jì)算矩陣特征值，如遇高階矩陣或復(fù)特征值，則特征值的計(jì)算會(huì)變得異常麻煩。 Jordon normal form。在我們平時(shí)遇到的相關(guān)問題中，在解決線性方程方面問題的時(shí)候都會(huì)用到矩陣，在古代中國(guó)，也有很多類似于矩陣方面研究載，在魏晉的劉徽所編著的數(shù)學(xué)巨著《 九章算術(shù) 》中，就已經(jīng)提到了怎樣求解線性方程組增廣矩陣。在對(duì) 行列式 研究的體系慢慢完善起來之后，矩陣才慢慢進(jìn)入數(shù)學(xué)家 們的視野。在這以后這一理論不斷發(fā)展，其經(jīng)常被用來求解線性方程組。 于是矩陣便應(yīng)運(yùn)而生。 矩陣論體系的創(chuàng)立者一般被認(rèn)為是英國(guó)著名數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley），他將矩陣這個(gè)數(shù)學(xué)概念完全獨(dú)立為一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，矩陣?yán)锩婧芏嘞嚓P(guān)性質(zhì)先 在行列式問題的討論中業(yè)已被發(fā)現(xiàn)，所以矩陣的概念的提出很容易被人接受。 此外，在之后關(guān)于矩陣系統(tǒng)的研究中，也有很多其他的數(shù)學(xué)家做出了重要的發(fā)現(xiàn)。另外，龐加萊（ Poincare）以及傅立葉（ Fourier）還探討了與無限階矩陣相關(guān)的一些問題。在文章的開始，本文會(huì)論述矩陣的相關(guān)發(fā)展與歷史，在第二章會(huì)對(duì)本文用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行介紹，在文章的第三章，本文將會(huì)從齊次微分方程引入矩陣指數(shù)的概念，關(guān)于性質(zhì)和計(jì)算部分主要在第四與第五章進(jìn)行論述，性質(zhì)部分論述了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)的相關(guān)特性；第五章將會(huì)介紹三種矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法，并會(huì)對(duì)這三種方法進(jìn)行對(duì)比。即矩陣 A 的譜半徑是矩陣 A 中所有的特征值中最大模的值；如果矩陣特征值是虛數(shù)，則譜半徑是特征值實(shí)部與虛部的平方和的算術(shù)平方根。( ) , ( ) , . . . , ( ) , 1 , 2 , . . . ,idi i if f f i r? ? ?? ?有意義，則可以說函數(shù) ()fx在 A 矩陣的譜影上有定義 。如果矩陣級(jí)數(shù)不收斂，則可稱作發(fā)散的 。 ()x At x? 通常上式稱為對(duì)應(yīng)于（ ）的齊次線性微分方程組。正定矩陣的定義分為廣義的定義和狹義的定義。例如：一個(gè) n 階的矩陣 B ， E 表示一個(gè)單位矩陣， a 指正實(shí)數(shù)。在這里 z 的 轉(zhuǎn)置 可以表示為 39。 推論 A 是 n 階 Hermitian 矩陣，同時(shí) A 也是正定（半正定）矩陣的充分必要的條件是矩陣 A 中所求得的所有的特征值都大于等于 0。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 酉矩陣 定義 如果一個(gè) nn? 的復(fù)數(shù)矩陣，這個(gè)矩陣滿足條件： **nU U UU E?? 在這里， *U 是 U 的共軛轉(zhuǎn)置， nE 是 n 階單位矩陣， U 可以被稱作酉矩陣。 在本章中，將從齊次線性微分方程組基解矩陣的求解開始，對(duì)矩陣指數(shù)的概念進(jìn)行研究，然后再對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)討論，在本章的 矩陣指數(shù)函數(shù)中，本文將會(huì)一步一步將矩陣指數(shù)函數(shù)和齊次線性微分方程組 39。 矩陣指數(shù) 首先，齊次線性微分方程組可以簡(jiǎn)單的表示為 39。 如果 A 為一個(gè)是 nn? 常數(shù)矩陣，那么我們可以將 Ae 定義為下面的矩陣級(jí)數(shù)的和 20 ! 2 ! !kmAkA A Ae E A??? ? ? ? ? ???? ? ????， （ ） 其中 E 是指 n 階的單位矩陣，矩陣 mA 是 A 的 m 次冪。 此時(shí)，若令 0()!kkkAtx k??? ? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 8 代入（ ）中 03 2 12039。假設(shè)矩陣級(jí)數(shù)任意項(xiàng)的范數(shù)都小于相對(duì)應(yīng)的收斂數(shù)值級(jí)數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，那么我們可以推得此矩陣級(jí)數(shù)為收斂的，所以（ ）先對(duì)所有矩陣 A 全是絕對(duì)收斂的。在 節(jié)的證明過程中會(huì)用到此證明結(jié)果。 定理 矩陣 () Atte?? （ ） 是（ ）的基解矩陣。 又有 det (0) det 1E? ? ?。 由此，求解（ ）基解矩陣的問題便可以轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )kki i if p i s k d??? ? ? ? 那么矩陣函數(shù) ()fA可以定義作 ( ) ( )f A p A? 。 定理 設(shè) , nnA B C ?? ， ()ef? ?? 是復(fù)值函數(shù)，并且在 ()A? 有定義， 那么矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，擁有下面 7 條性質(zhì)： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 （ 1） () ,A A Ae e e C? ? ? ? ???? ? ? （ 2） c o s s in , ( 1 )iAe A i A i? ? ? ? （ 3）如果 A 和 B 可交換，也就是說當(dāng) AB BA? 時(shí)，有 A B B A A Be e e e e? ??； （ 4）對(duì)于任何矩陣 A ， Ae 總是可逆的，同時(shí) 1()AAee??? ； （ 5） ()At At Atd e Ae e Adt ??； （ 6） det( )At trAee? ，其中 11 22 nntr A a a a? ? ? ????是 A 的跡。 因此令 ( ) lnf ??? ，那么 ()f? 在 ()B? 上有定義， 又設(shè) ()ge?? ? ， ()g? 為整函數(shù)， ()B???? ， ()( ( )) fg f e ????? ， ()fBBe? ， 又 ()( ( )) fg f e ?? ? 也是整函數(shù)，若 ()B??? ， ()( ( )) fg f e ????? ， 從而 ()fBBe?