【導讀】是矩陣指數函數，它廣泛地應用于自控理論和微分方程。本文深入淺出地介紹了。矩陣指數函數，并進一步探討如何借助矩陣指數函數分析相關問題。本文的重點是討論矩陣指數函數的五種計算方法。法廣泛適用于各種矩陣，雖然計算過程復雜程度不同，但都需要計算矩陣特征值，如遇高階矩陣或復特征值，則特征值的計算會變得異常麻煩。后兩種方法較特殊，最后，本文具體闡述矩陣指數函數在微分方程求解中的應用。

　　

【正文】 1( ) ( 1 )2 1 2 1 2 0 2( ) ( 1 ) 11 1 01( ) ( ) ( ) ( )( 39。 )( 39。 )( 39。 )0 0 0 0nnnnnnnnnn n nn n n n nnt c t c t c tx c x c x c x Ex c x c x c x Ax c x c x c x AE A A??????????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? 所以 ( ) ( 1 ) 39。1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nnnt c t c t c t??? ? ? ? ???? ? ? ? ? 并且 112112( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 112( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。( 0 ) 39。( 0 ) 39。( 0 ) 39。( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )nnnnn n n n n nnx E x A x A Ex E x A x A Ax E x A x A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 所以 112( ) ( ) ( ) ( ) nnt x t E x t A x t A ?? ? ? ? ???? 是 ( ) ( 1 )1 1 0( ) 0nnnc t c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ( 1 ) 1( 0) , 39。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ? 的解。 由 定理 可知 112( ) ( ) ( ) ( )A t nnt e x t E x t A x t A ?? ? ? ? ? ???? 證畢． 例 1 有矩陣指數函數 Ate ，對其求解，在這里 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 解： 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 特征方程為： 2( ) de t( ) ( 1 ) ( 2)c E A? ? ? ?? ? ? ? ?，所以矩陣 A 的特征值為 1,1,2 ． 所以 ( 3 ) 2 1 039。39。 39。 0x c x c x c x? ? ? ?的通解為： 21 2 3() t t tx t te e e? ? ?? ? ? 當 (0 ) 1, 39。(0 ) 0 , 39。39。(0 ) 0x x x? ? ?時， 21( ) 2 ttx t te e?? ?。 當 (0 ) 0 , 39。(0 ) 1, 39。39。(0 ) 0x x x? ? ?時， 22 ( ) 3 2 2t t tx t te e e? ? ? 當 (0 ) 0 , 39。(0 ) 0 , 39。39。(0 ) 1x x x? ? ?時， 23 () t t tx t te e e? ? ? ?。 同時 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 所以 2 2 2 2( 2 ) ( 3 2 2 ) ( )A t t t t t t t t te te e E te e e A te e e A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? Jordon 塊求解法 在這一節(jié)中闡述的計算比之前的計算方法計算較為麻煩 ,原理和過程同樣不一樣，這個計算方法用到了矩陣函數的 Jordon 表示式的知識，此方法利用 Ate 的Jordon 表示式的計算間接的求得 Ate ． 已知 nnAC?? 和變量 ? 的多項式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ?， 則稱 11 1 0() mmmmp A A A A E? ? ? ???? ? ? ???? ? 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 是 A 的矩陣多項式． ()pA和 A 同為 n 階方陣 若 iJ 為 id 階 Jordon 塊矩陣 111iiiiii ddJ??? ?????????? 則 111111iiiid k dkki k i k ikki k ikiki ddCCCJ? ? ????? ? ????????????? 關于 id 階矩陣 ()iJ? 的矩陣多項式 1110() mmi m i m i i ip J J J J E? ? ? ???? ? ? ???? ? 由 (1)式可引入多項式 ()p? 的各階導數，然后 ()ipJ 能夠表達為 ( 1 ) ()( ) 39。( )( 1 ) !( ) 39。( )()()iiidiiiiiiii ddpppdpppJp???????????? ?????? 若 J 為 Jordon 標準型， 12( , , .. ., )rJ diag J J J? ,則 12( ) ( ( ) , ( ) , ... , ( ) )rp J diag p J p J p J? . 這里假設 A 是一個 n 階方陣， J 表示此方陣 Jordon 標準形，那么會有一個滿秩的矩陣 P，使得 1112( , , . . . , )rA P J P P d ia g J J J P???? ， 因此 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 112( ) ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) )rA P A P d ia g p J p J p J P ??? 為矩陣多項式 ()PA的 Jordon 表示式。 定理 設 nnAC?? ， J 是此矩陣 Jordon 的標準形， 1,nnnP C A PJP????，如果在 A 的影譜上函數 ()fx有定義，那么 112( ) ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) )rf A P d ia g f J f J f J P ?? 其中 ( 1 ) ()( ) 39。( )( 1 ) !( ) 39。( )()39。( )()iiidiiiiiiiii ddfffdfffJfp????????????? ?????? 依據定理 ,計算矩陣指數函數就可利用矩陣函數的 Jordon 標準型了． 計算步驟： 1. 求 A 的 Jordon 標準形 ， 12( , , .. ., )rJ diag J J J? ； n 2. 由 J 寫出 12( ) ( ( J ) , ( J ) , ... , ( J ) )rf J di ag f f f? ，其中 (A) Arfe? ； 3. 由 J 計算變換矩陣 P ，其中 AP PJ? ； 4. 寫出 (A)f 的 Jordon 表示式 1(A ) P (J) Pff?? 把矩陣指數函數 (A)f 所對應的函數 (x)f 代入 1P (J)Pf ? 即可． 例 1 有矩陣指數函數 Ate ，對其求解，在這里 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 解： 求矩陣的初等因子： 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 26 22 1 1 16 3 2 14 1 3 ( 1 ) ( 2)EA???? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?， 矩陣 A 的初等因子是 2( 1) ( 2)???? 故 A 的 Jordon 標準形是 1 1 00 1 00 0 2J????????? 變換矩陣 P 和 1P? 分別為 1 1 12 3 21 1 2P???????????, 14 1 12 1 01 0 1P ?? ? ??????????, 且 (1 ) 39。(1 ) 0( J) 0 (1 ) 00 0 ( 2)fffff???????， 所以 (A)f 的 Jordon 標準型是： 1( A ) ( J) P2 ( 1 ) 2 39。( 1 ) ( 2 ) 39。( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2 ( 1 ) 4 39。( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 39。( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 )2 ( 1 ) 2 39。( 1 ) 2 ( 2 ) 39。( 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 )f P ff f f f f ff f f f f f ff f f f f f??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 當 (x) extf ? 時， 2(1 ) e , 39。(1 ) t e , ( 2) et t tf f f? ? ?,故 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 矩陣指數函數的特殊計算方法 以上三種方法各有優(yōu)略，都可以用來計算矩陣指數函數。第一種和 第二種方天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 27 法的計算都用到了微分方程方面的相關知識，這兩種方法中都運用了到一個 n 階的線性微分方程，通過對這個方程的求解來計算 Ate , 第三種方法從運用了Jordon 標準型的知識，主要依據矩陣函數的 Jordon 表示式的變化求解。雖然第三種方法的過程多，計算復雜，但是這三種方法都可以對一般的矩陣指數函數進行求解。 實際上，由于以上 3種方法均需要求計算矩陣的特征值，當矩陣的階數變高，或者出現復數運算時，計算矩陣的特征 值將會變得困難。接下來，本文將引入兩種特殊的方法矩陣指數函數展開法 ,Laplace變換法。使用矩陣指數函數展開法會避免矩陣特征值的計算 , Laplace變換法則運用了 Laplace變換，也不用計算矩陣的特征值。但是二者亦有相應的缺點，本節(jié)將對其進行詳細的介紹。 矩陣指數函數展開法 例題，設 0110A ????????，計算 Ate 直接計算 2 3 4 5, , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? ?,I 是二階的單位矩陣。 根據矩陣指數函數的定義有 02 2 2 1 2 1002 2 1002 2 100!( 2 ) ! ( 2 1 ) !( 1 ) I ( 1 )( 2 ) ! ( 2 1 ) !( 1 ) ( 1 )( 2 ) ! ( 2 1 ) !( c os ) ( sin )c os sinsin c oskkAtkm m m mmmn n nnnn n nnnAtekA t A tmmt A tnnttIAnnt I t Atttt???????????????????????????? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?????? ???????????? A 為二階正交矩陣 ,運用矩陣指數函數展開式方法能夠計算出 Ate , 但是一般的矩陣指數函數計算式，此算法就不行了 . Laplace 變換法 本算法旨在運用 Laplace反變換，跳過矩陣指數函數特征值的計算以及矩陣的變化。 定義 0(s) (t) dtstF e f?? ?? ? 定義在復平面 (Res )?? 上的復變數 s 的函數 (s)F ，一般叫它函數 ()ft的 Laplace天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 28 變換，在這里 ()ft在 0t? 有