【正文】 畢業(yè)論文 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算 PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：學(xué)士 論文提交日期： I 摘 要 矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，而矩陣函數(shù)中的一個(gè)最重要的函數(shù)就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它廣泛地應(yīng)用于自控理論和微分方程。 本文深入淺出地介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)，并進(jìn)一步探討如何借助矩陣指數(shù)函數(shù)分析相 關(guān)問題。 文章 以齊次線性微分方程組求解基解矩陣為出發(fā)點(diǎn)引出矩陣指數(shù)函數(shù)的概念，證明求解矩陣指數(shù)函數(shù)就是求解齊次線性微分方程組的基解矩陣，然后 得到矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。本文的重點(diǎn)是討論矩陣指數(shù)函數(shù)的五種計(jì)算方法。其中，前三種方法廣泛適用于各種矩陣，雖然計(jì)算過程復(fù)雜程度不同，但都需要計(jì)算矩陣特征值，如遇高階矩陣或復(fù)特征值，則特征值的計(jì)算會(huì)變得異常麻煩。后兩種方法較特殊，雖然缺乏普適性，只能計(jì)算特殊矩陣的指數(shù)函數(shù)，但卻避過了特征值計(jì)算，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程。最后，本文具體闡述矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程求解中的應(yīng)用。 關(guān) 鍵詞： 矩陣指數(shù)函數(shù)； Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形； 微分方程組 II ABSTRACT Matrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in plexity, all of them need to pute the matrix eigenvalues. The calculation on highorder matrix or plex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality. Key words: Matrix exponential function。 Jordon normal form。 Differential equations III 目 錄 1 前言 .................................................................................................1 矩陣 （ Matrix） 的發(fā)展與歷史 .......................................................1 本文的主要內(nèi)容 ............................................................................2 2 預(yù)備知識(shí) ..........................................................................................3 3 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) .......................................................................7 矩陣指數(shù) .......................................................................................7 關(guān) 于級(jí)數(shù)0 !kkkAtk???的收斂性 ..........................................................7 矩陣指數(shù) Ae 的性質(zhì) ......................................................................8 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 ................................................. 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ................................................................ 100 矩陣函數(shù) ................................................................................ 100 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) .............................................................. 111 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法 ............................................................ 177 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計(jì)算方法 .................................................. 177 Hamilton‐ Cayley 求解法 ..................................................... 177 微分方程系數(shù)求解法 ............................................................ 211 Jordon 塊求解法 ................................................................... 233 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計(jì)算方法 .................................................. 266 矩陣指數(shù)函數(shù)展開法 .............................................................. 277 Laplace 變換法 .......................................................................... 27 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較 ............................................................... 28 IV 5 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用 ............................................. 300 6 總結(jié) ............................................................................................. 333 參考文獻(xiàn) .......................................................................................... 334 致謝 ................................................................................................... 35 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 1 1 前言 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 在 數(shù)學(xué) 中，矩陣（ Matrix）是很常用的工具，雖然 Matrix 亦有 ―子宮， 或者控制中心的母體，孕育生命的地方 ‖此類含義，然而矩陣卻與生物沒有太大的關(guān)聯(lián)，矩陣（ Matrix）是指在二維空間里的數(shù)據(jù)縱橫分布形成的表格，最先起源于方程組 的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)所組成的 方陣 。矩陣的系統(tǒng)概念首先被英國(guó)的著名數(shù)學(xué)家 凱利 提出。 實(shí)際上，雖然矩陣（ Matrix）這個(gè)概念誕生于 19 世紀(jì)，矩陣本身卻有著非常古老的歷史，早在很久以前就已發(fā)現(xiàn)幻方以及古老的 拉丁方陣 等關(guān)于矩陣方面相關(guān)研究記錄。在我們平時(shí)遇到的相關(guān)問題中，在解決線性方程方面問題的時(shí)候都會(huì)用到矩陣，在古代中國(guó)，也有很多類似于矩陣方面研究載，在魏晉的劉徽所編著的數(shù)學(xué)巨著《 九章算術(shù) 》中，就已經(jīng)提到了怎樣求解線性方程組增廣矩陣。書理用類似分離 系數(shù) 法的方法來表示 線性方程組 ，在其一行乘以一個(gè)非零 實(shí)數(shù) 、把其中一行中和另一行相減等運(yùn)算技巧，類似現(xiàn) 在矩陣變換里面的 初等變換 。然而由于當(dāng)時(shí)世界各地并沒有系統(tǒng)的矩陣研究，也沒有相關(guān)概念，所以僅僅以線性方程內(nèi)的表示方法為標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)的處理方式記錄在書中。 在正常的邏輯中，矩陣系統(tǒng)這個(gè)概念應(yīng)該在行列式之前被提出，但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)歷史中卻正好相反。在對(duì) 行列式 研究的體系慢慢完善起來之后，矩陣才慢慢進(jìn)入數(shù)學(xué)家 們的視野。在該領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中，日本非常有名的 關(guān)孝和 （ 1683年）與 戈特弗里德 威廉 萊布尼茨 （ 1693 年）（微積分理論的提出者之一）在大致相同的時(shí)地獨(dú)自建立了行列式理論。在這以后這一理論不斷發(fā)展，其經(jīng)常被用來求解線性方程組。 1750 年 ， 加布里爾 克拉默 提出了 克萊姆法則 。隨后，由于研究的需要，行數(shù)等于列數(shù)的行列式在解決重要的數(shù)學(xué)問題是有很大的局限性，無法滿足實(shí)際需要。 于是矩陣便應(yīng)運(yùn)而生。矩陣的當(dāng)代概念體系在 19 世紀(jì)慢慢完成。實(shí)際上矩陣的概念與行列式的概念有本質(zhì)上的區(qū)別，其使用也有很大的 不同。在這一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中， 1850 年， 英國(guó) 的 詹姆斯 （ James Joseph Sylvester）最開始使用矩陣這個(gè)名字將數(shù)字構(gòu)成的矩形陣列和最開始的行列式分離。 矩陣論體系的創(chuàng)立者一般被認(rèn)為是英國(guó)著名數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley），他將矩陣這個(gè)數(shù)學(xué)概念完全獨(dú)立為一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，矩陣?yán)锩婧芏嘞嚓P(guān)性質(zhì)先 在行列式問題的討論中業(yè)已被發(fā)現(xiàn)，所以矩陣的概念的提出很容易被人接受。在 1858 年，凱萊（ Cayley）在他所寫的《矩陣論的研究報(bào)告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。在這篇報(bào)告里面作者規(guī)定了矩陣相等、算法、轉(zhuǎn)置和矩陣基本概念，天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 2 如逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力的概念。除此之外，凱萊（ Cayley）亦在報(bào)告里寫下了方陣的特征方程以及特征根還有矩陣的少許基本結(jié)論。 此外，在之后關(guān)于矩陣系統(tǒng)的研究中，也有很多其他的數(shù)學(xué)家做出了重要的發(fā)現(xiàn)。德國(guó)數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（ Frobenius）最