等價無窮小量替換定理的推廣本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-22 04:04 本頁面
【文章內容簡介】 在什么情況下可以替換呢？對于求不定式極限形式的冪指函數各位置上的無窮小量情況,還有在求變上限積分中的被積函數為無窮小量時的情形,求極限時能否用等價無窮小量來替換呢？在文獻[2]中并沒有作詳細的論述,這不得不說是一種遺憾.本文所得到的結果是對等價無窮小量替換定理的進一步豐富與完善,也是對文獻[2]中的等價無窮小量替換定理的改進和推廣.在敘述本文的結果之前,首先要說明一下,本文的結論對于其它所有的極限過程都成立,至于其它類型極限的定理及其證明,只要相應地作些修改即可.2．無窮小量以及等價無窮小量定義 ,則稱為當時的無窮小量. 類似的定義當時的無窮小量.定義 設當時,與均為無窮小量,若,. 不難看出等價無窮小量是等價關系,具有如下性質:性質1 設函數在內有定義,且,.反身性:。對稱性:若,則。傳遞性:若,則.證 ... 3．等價無窮小量替換定理定理 設函數在內有定義,且有若則若則 定理1稱為“等價無窮小量替換定理”（證明見參考文獻[2]）,說明了在對所求極限式中相乘或相除的因式可用等價無窮小量來替換. 應用等價無窮小量替換,必須記住一些常用的等價無窮小量.當時,常見的等價無窮小量有:上面所列的等價無窮小量可用洛必達法則直接證明（證明從略）. 在利用等價無窮小量替換時,還要記住一些極限公式,如兩個重要極限和等.4． 等價無窮小量替換定理的推廣 有限個函數積或商運算的等價無窮小量替換定理2 設函數在內有定義,且有.若則。若則.證 對用數學歸納法證之.①當時,由定理1可知,明題成立。②假設當時命題成立,即“若則”成立,則當時,只要能證明“若則”成立即可.而這就證明了當時,若則是成立的.綜上①②可知命題成立. 命題的證明與命題的證明相仿,在此從略. 定理2中的均可以為有限實數,也可以為或. （或,）,則其中全部或部分無窮小量可用其等價無窮小量來替換. 定理2在使用上把定理1局限于兩個無窮小量積或商的極限替換,擴大到任意有限個無窮小量積或商的極限情形,從而大大拓展了使用范圍. 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換實際上,對極限式中的兩個無窮小量相加的部分是可以使用等價無窮小量來替換的,只不過它有自身的一些限制,若要進行替換,必須滿足如下定理3:定理3 設函數在內有定義,且.若則（可以是有限實數或）.證 ①當為有限實數時②當時,即從而 ③當時,證法同②綜上①②③所述,定理3成立. 定理3說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的和時,只要這兩個無窮小量滿足定理3中的條件,則這個因子就可以用相應的等價無窮小量之和來替換. 在定理3的條件中若,則結論不真（求這類等價無窮小量之和的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結合其它方法來求解）.由定理3可導出對極限式中的兩個無窮小量相減的因子使用等價無窮小量替換的條件,若要進行替換,必須滿足如下推論1:推論1 設函在內有定義,且有.若則（可以是有限實數或）.推論1的證明與定理3的證明相仿,在此從略. 推論1說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的差時,只要這兩個無窮小量滿足推論1中的條件,則這個因子就可以用相應的等價無窮小量之差來替換. 在推論1的條件中若,則結論不真（求這類等價無窮小量之差的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結合其它方法來求解）.推論2 設函數在內有定義,且（可以是有限實數或）,則.證 對用數學歸納法證之. 當時,由定理3可知,結論成立。假設時結論成立,即有成立,那么當時, 由 可知即有所以當時,結論也成立.綜上可知,對都有. ,擴大到任意有限個無窮小量和的極限替換情形,從而大大拓展了適用范圍. 在推論2中當中的一部分無窮小量前面用減號相連接時,此時可以把這一部分無窮小量改寫為加上這個無窮小量的相反數,使得這
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