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正文內(nèi)容

等價(jià)無窮小量替換定理的推廣本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2024-07-22 04:04 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 在什么情況下可以替換呢?對于求不定式極限形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量情況,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時(shí)的情形,求極限時(shí)能否用等價(jià)無窮小量來替換呢?在文獻(xiàn)[2]中并沒有作詳細(xì)的論述,這不得不說是一種遺憾.本文所得到的結(jié)果是對等價(jià)無窮小量替換定理的進(jìn)一步豐富與完善,也是對文獻(xiàn)[2]中的等價(jià)無窮小量替換定理的改進(jìn)和推廣.在敘述本文的結(jié)果之前,首先要說明一下,本文的結(jié)論對于其它所有的極限過程都成立,至于其它類型極限的定理及其證明,只要相應(yīng)地作些修改即可.2.無窮小量以及等價(jià)無窮小量定義 ,則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小量. 類似的定義當(dāng)時(shí)的無窮小量.定義 設(shè)當(dāng)時(shí),與均為無窮小量,若,. 不難看出等價(jià)無窮小量是等價(jià)關(guān)系,具有如下性質(zhì):性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且,.反身性:。對稱性:若,則。傳遞性:若,則.證 ... 3.等價(jià)無窮小量替換定理定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有若則若則 定理1稱為“等價(jià)無窮小量替換定理”(證明見參考文獻(xiàn)[2]),說明了在對所求極限式中相乘或相除的因式可用等價(jià)無窮小量來替換. 應(yīng)用等價(jià)無窮小量替換,必須記住一些常用的等價(jià)無窮小量.當(dāng)時(shí),常見的等價(jià)無窮小量有:上面所列的等價(jià)無窮小量可用洛必達(dá)法則直接證明(證明從略). 在利用等價(jià)無窮小量替換時(shí),還要記住一些極限公式,如兩個重要極限和等.4. 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 有限個函數(shù)積或商運(yùn)算的等價(jià)無窮小量替換定理2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則。若則.證 對用數(shù)學(xué)歸納法證之.①當(dāng)時(shí),由定理1可知,明題成立。②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,即“若則”成立,則當(dāng)時(shí),只要能證明“若則”成立即可.而這就證明了當(dāng)時(shí),若則是成立的.綜上①②可知命題成立. 命題的證明與命題的證明相仿,在此從略. 定理2中的均可以為有限實(shí)數(shù),也可以為或. (或,),則其中全部或部分無窮小量可用其等價(jià)無窮小量來替換. 定理2在使用上把定理1局限于兩個無窮小量積或商的極限替換,擴(kuò)大到任意有限個無窮小量積或商的極限情形,從而大大拓展了使用范圍. 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價(jià)無窮小量替換實(shí)際上,對極限式中的兩個無窮小量相加的部分是可以使用等價(jià)無窮小量來替換的,只不過它有自身的一些限制,若要進(jìn)行替換,必須滿足如下定理3:定理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且.若則(可以是有限實(shí)數(shù)或).證 ①當(dāng)為有限實(shí)數(shù)時(shí)②當(dāng)時(shí),即從而 ③當(dāng)時(shí),證法同②綜上①②③所述,定理3成立. 定理3說明了在求極限時(shí),若某個因子是兩個無窮小量的和時(shí),只要這兩個無窮小量滿足定理3中的條件,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價(jià)無窮小量之和來替換. 在定理3的條件中若,則結(jié)論不真(求這類等價(jià)無窮小量之和的運(yùn)算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來求解).由定理3可導(dǎo)出對極限式中的兩個無窮小量相減的因子使用等價(jià)無窮小量替換的條件,若要進(jìn)行替換,必須滿足如下推論1:推論1 設(shè)函在內(nèi)有定義,且有.若則(可以是有限實(shí)數(shù)或).推論1的證明與定理3的證明相仿,在此從略. 推論1說明了在求極限時(shí),若某個因子是兩個無窮小量的差時(shí),只要這兩個無窮小量滿足推論1中的條件,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價(jià)無窮小量之差來替換. 在推論1的條件中若,則結(jié)論不真(求這類等價(jià)無窮小量之差的運(yùn)算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來求解).推論2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且(可以是有限實(shí)數(shù)或),則.證 對用數(shù)學(xué)歸納法證之. 當(dāng)時(shí),由定理3可知,結(jié)論成立。假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即有成立,那么當(dāng)時(shí), 由 可知即有所以當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立.綜上可知,對都有. ,擴(kuò)大到任意有限個無窮小量和的極限替換情形,從而大大拓展了適用范圍. 在推論2中當(dāng)中的一部分無窮小量前面用減號相連接時(shí),此時(shí)可以把這一部分無窮小量改寫為加上這個無窮小量的相反數(shù),使得這
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