【文章內(nèi)容簡介】 x f xg x g x? ?? ? 0211 2 21 2 1()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )101 1 01xxfxfxg x g x f xf x f x f x?????????? ③ 當 c??? 時 ,證法同② 綜上①②③所述 ,定理 3 成立 . 注 定理 3 說明了在求極限時 ,若某個因子 是 兩個 ． ． 無窮小量的和 時 ,只要這 兩 ．個 ． 無窮小量滿足定理 3中的條件 ,則這個因子就可以用相應的等價無窮小量之和 來替換 . 注 在定理 3 的條件中若 1c?? ,則結論不真（求這類等價無窮小量之和的運算 問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達法則 結合其它方法來求解 ） . 由定理 3可導出 對極限式中的兩個無窮小量相減 的因子 使用等價無窮小量 替換的 條件 ,若要進行替換 ,必須滿足如下 推論 1: 推論 1 設函 ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2)iif x g x x x i??. 若012()lim 1,()xxfx cfx? ??則 01 2 1 2( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x? ? ?（ c 可以是有限實 數(shù) ?? 或 ? ） . 推論 1 的證明與定理 3 的證明相仿 ,在此從略 . 注 推 論 1 說明了在求極限時 ,若某個因子是 兩個 ． ． 無窮小量 的差時 ,只要這兩個 ． ． 無窮小 量滿足推論 1 中的條件 ,則這個因子就可以用相應的等價無窮小量之差 來替換 . 注 在推論 1 的條件中若 1c? ,則結論不真（求這類等價無窮小量之差的運算問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達法則結合其它 方法來求解） . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 7 推論 2 設函數(shù) ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 , 0( ) ~ ( ) ( )iif x g x x x?( 1,2,i? ,)n , 且011()l im 1 ( 1 , 2 , , 1 ) ( 2 ) ,()mxx jjj fx c m n nfx? ?? ? ? ? ? ? ?? （ c 可以是有限實數(shù) ?? 或 ? ） , 則011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n? ?????. 證 對 n 用數(shù)學歸納法證之 . ()i 當 2n? 時 ,由定理 3 可知 ,結論成立 。 )(ii 假設 ( 2)n k k??時結論成立 ,即有 011( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x?????成立 , 那么當 1nk??時 , 由 011( ) ~ ( ) ( )kkf x g x x x?? ? 0121( ) ( ) ( )l i m 1() kxx kf x f x f xfx? ?? ? ? ??可知 01111( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )kkk i k iiif x f x g x g x x x??? ? ????? 即 有 110( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x?? ????? 所以當 1nk??時 ,結論也成立 . 綜上 ()i )(ii 可知 ,對 2n??都有011( ) ~ ( ) ( )nniiiif x g x x x?????. 注 顯然推論 2 是定理 3 的直接推廣 .在使用上把定理 3 中局限于兩個無窮小量和的極限替換 ,擴大到任意有限個無窮小量和的極限替換情形 ,從而大大拓展了適用范圍 . 注 在推論 2 中 當 ()ifx( 2, , )in? 中的一部分無窮小量前 面 用減號相連接時 ,此時可以把這一部分無窮小量改寫為加上這個無窮小量的 相反數(shù) ,使得這部分無窮小量前 面 均 用 加 號 相 連 接 , 這 時 只 要 滿 足 推 論 2 的 條 件 則 仍然有011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n? ?????成立 . 注 在推論 2 的條件中若 1c?? ,則結論不真（求這類等價無窮小量 的 代數(shù) ． ．和 ． 的運算問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達法則結合其它方法來求解） . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 8 乘方運算下的等價無窮小量替換 在利用等價無窮小量替換定理求函數(shù)極限的過程中 ,常常會碰到一類不定式0 00 , ,1?? 極限的問題 ,對 于這些冪指函數(shù)的情形現(xiàn)對其作進一步的探究 . 作為準備 ,先證引理 1 引理 [7]1 設函數(shù) ,fg在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x?( ) 0,fx? ( ) 0,gx? 則011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x ? 證 00l im l n ( ) l im l n ( )x x x xf x g x??? ? ? ? 0011l i m l i m 0l n ( ) l n ( )x x x xf x g x????? 0()()l n ( )11l i m l i ml n ( ) l n ( ) l n ( )l n l n ( )l i ml n ( )x x x xxxgxfxgxf x g x fxfxfx???? 01 ( )l i m [ l n 1 ] 0 0 1 1l n ( ) ( )xxgxf x f x?? ? ? ? ? ? ? 011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x ?? 次 證引理 2 引理 [7]2 設函數(shù) ,fg在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x?則 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x? ? ?. 證 由對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及重要極限 10(1 )lim xx xe? ??可知 001()1()( ) 0ln (1 ( ))lim()lim ln (1 ( ))ln [ lim (1 ( )) ]xxfxxxfxxffxfxfxfx???????? lne= 1? 從而有 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )f x f x x x?? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 9 同理 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )g x g x x x?? 又 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x? 由 性質(zhì) 1 的 等價無窮小量的“傳遞性”和“對稱性”可知 有 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x? ? ?. 再證引理 3 引理 3 設函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?. ()i 若0 ()lim ( ) ,xx fxh x A? ?則0 ()lim ( ) xxx gh x A? ?。 )(ii 若0 ()lim ( ) ,xx hxf xB? ?則0 ()lim ( )xx hxg xB? ?. 證 ()i0()lim ( ) xxx ghx? 0( )ln ( )limxx g x h xe?? 0lim ( ) ln ( )xx g x h xe ?? 0lim ( ) ln ( )xx f x h xe ??（由定理 1） 0( ) ln ( )limxx f x h xe?? 0()lim ( ) fxxxA hx??? )(ii0 ()lim ( )hxxxg x? 0( ) ln ( )limxx h x g xe?? 0lim ( ) ln ( )xx h x g xe ?? 0()1ln ( )lim hxgxxxe ?? 0()1ln ( )lim hxfxxxe ?? （由引理 1） 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 10 0lim ( ) ln ( )xx h x f xe ?? 0( ) ln ( )limxx h x f xe?? 0()lim ( )xxhxf xB??? 注 引理 3 說明了對于冪指函數(shù)中的底數(shù)和指數(shù)中的無窮小量均可用其等價無窮小量 來替換 . 由此來證明 定理 4 設函數(shù) , , ,f guv 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) , ( ) ~ ( ) ( )f x g x u x v x x x?. ()i 若0()lim ( ) ,xxx uf x A? ?則0()lim ( ) xxx vg x A? ?(它是 0 型 )。 )(ii 若0()1lim ( ) ,() xxx u Bfx? ?則0()1lim ( )() xxx v Bgx? ?(它是 0? 型 )。 ()iii 若01()lim (1 ( )) ,xxx uf x C? ??則01()lim (1 ( )) xxx vg x C? ??(它是 1? 型 ). 證 ()i 由引理 3 可知 0 ()lim ( ) xxx vgx? 0 ()lim ( )uxxxgx?? 0 ()lim ( )uxxxf x?? A? )(ii0()1lim ( )() xvxx gx? 0()1lim ( )() uxxx gx?? （ 由引理 3） 01( ) ln ()lim ux gxxx e??