【正文】 .............................................. 2 3．等價無窮小量替換定理 ................................................... 3 4．等價無窮小量替換定理的推廣 ............................................. 4 有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換 ............................. 4 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換 ........................... 5 乘方運算下的等價無窮小量替換 ....................................... 8 變上限定積分函數(shù)的等價無窮小量替換 ................................ 12 5．應(yīng)用舉例 .............................................................. 14 6．結(jié)束語 ................................................................ 20 7．參考文獻(xiàn) .............................................................. 21 等價無窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導(dǎo)老師 :張金娥） （湖北師范 學(xué)院文理學(xué)院 中國 黃 石 435002） 摘要 : 等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,只給出了兩個無窮小量積與 商 形式 的 等價無窮小量替換定理 .然而 該定理只適用于 兩個無窮小量積與 商的形式 ,這對于其它形式例如 :有限個無窮小量 積與 商 。極限 。 like the exponential function of 000 ,1 ,?? .besides, the integrand is infinitesimal variableranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal product and quotients’ limit form of the generalization, it expands the scope of application of the theorem, leading to more flexible and convenient application. Key words: Infinitesimal。 )(ii 對稱性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?,則 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x?。n xx n?? ( 3 ) 1 ~ l n ( 0 1 ) 。 )(ii 若01lim ,()()xxiniBf xhx???? 則01lim ()()xxiniBg xhx???? . 證 ()i 對 n 用數(shù)學(xué)歸納法證之 . ① 當(dāng) 1n? 時 ,由定理 1 可知 ,明題 ()i 成立 。 )(ii 若0()1lim ( ) ,() xxx u Bfx? ?則0()1lim ( )() xxx v Bgx? ?(它是 0? 型 )。 200( 1 1 ) ~ 2xxn txt d t d tnn? ? ??? . 注 利用定理 5 在求解有關(guān)變上限的定積分時 ,若被積函數(shù)滿足此定理的條件 ,則被積函數(shù)可用它的等價無窮小量來替換 ,替換后可使問題轉(zhuǎn)化為簡單易求的極限形式 . 當(dāng) 變上限的定積分中的上限由自變量 x 變?yōu)楹瘮?shù) ()ux 時 ,被積函數(shù) 能否再用 其 等價無窮小量替換來求解極限 呢 ？ 事實上 ,當(dāng)滿足一定 的 條件時 答案是肯定的 . 定理 6 設(shè) ,fg為連續(xù)函數(shù) , u 為可導(dǎo)函數(shù) ,且可行復(fù)合 fu 與 ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a? ()limxau x a? ? ,則 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計） 14 證 由 “微積分學(xué)基本定理” ,“洛必達(dá)法則 ” 和“ 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則” 可得 ()()()()()()( ( ) )( ( ) )limlimxaxauxauxauuxaxaf t dtg t dtf t dtg t dt????????? ()()()()()limxa xauuu x af t dtg t dt???? ()( ( )) ( )( ( )) ( )1limu x a f u x u xg u x u x????? 所以有 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 5． 應(yīng)用舉例 例 1 求20 (1 c o s ) a r c t a n(1 ) ( s i n ) l n (1 s i n )l i m xx x x xe x x? ? ??? 解 由定理 1 的注 可知 當(dāng) 0x? 時 , 211 cos ~ 2xx? 。ln( 1 sin ) ~ sin ~ .xxxexxxx x x??? 由定理 2 可得 原式 2122x x xx x x??? ? ? ? 12?? . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計） 15 例 2 求40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i nt a nli mx x x xx? ? ? 解 原式40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i ns i nli mx x x xx? ??（ 由定理 1） 30 s in s in (s in )s inlimx xxx? ?? 30 sinlimt ttt? ??（令 sintx? ） 2220121 cos3316limlimtttttt?????? 例 3 求 3220 l n ( 1 a r c s in ) 6 ( 2 c o s 1 ) 。 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計） 16 s in ln (1 ) ~ ln (1 ) ~ .t t t?? 而00s i n l n (1 3 ) 3 31s i n l n (1 )l i m l i mtttt??? ? ? ?? ?由定理 3 的 推論 1 可知 0 s i n ln (1 3 ) s i n ln (1 )li mt ttt? ? ? ? 032limt ttt? ??? ?原式 2? . 例 4 求0 s i n s i n 1 0s i n s i n 2 s i n 1 0l i mx xxx x x?? ? ?? ? ? 解 00s i n 1 1s i n 1 0 1 0 1 0l i m l i mxxxx????? ? ? ? s i n s i n 1 0 ~ 1 0 ( 0 )x x x x ?? ? ? ? 又00s i n 1 1s i n 2 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 00s i n s i n 2 2 11s i n 3 3l i m l i mxxx x x xxx??????? ? ? ? ? 00s in s in 2 s in 9s in 1 029109 12l iml imxxx x xxx x xx????? ? ?? ? ??? ? ? s i n s i n 2 s i n 9 s i n 1 0 ~ 2 1 0 ( 0 )x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理 3 的推論 2 可知 : 原式0 102 1 0limx xxx x x?? ?? ? ? ?15?. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計） 17 例 5 求0 2t a n s i nl i m(1 ) ( a r c s i n a r c t a n )x xxxx?? ??。 2sec 1 ~ xx ? 。 sin 0x? . ?滿足定理 6 的條件 ,從而由定理 6 可得 原式2 26ln( 1 )0s in0022ln 2li mxxxtt dtx t d t????? ??? ? 24620114412 [ ln (1 ) ]( ln 2 ) sinlimx xxx???? ??8810 2116(ln 2)limxxx?? 18ln2?? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計） 20 注 上面的 8 個例題若改用洛必達(dá)法則來求解 ,因需多次求導(dǎo) ,并且 求導(dǎo)的過程十分繁瑣 ,很難求出結(jié)果 .再一次說明了洛必達(dá)法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的方法 .使用本文中推廣后的等價無窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果 ,且不易出錯 .只要充分的掌握好洛必達(dá)法則和等價無窮小量的性質(zhì) ,再把本文中的這些定理結(jié)合起來 ,會使這些原來十分復(fù)雜的求極限問題變得非常簡單 . 6． 結(jié)束語 本文把 文獻(xiàn) [2]中 只適用于求兩個無窮小量積或商極限形式的等價無窮小量替換定理推廣到 :有限個無窮小量積與商 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .這樣該定理的適用范圍就有局限性了 .本文把用等價無窮小 量替換定理求兩個無窮小量 積與商的 極限 形式 進行了推廣 ,從而擴大了該定理的使用范圍 ,使得應(yīng)用更加靈活方便 . 論文評語 （對論文撰寫的整體評價 ,并建議評定成績） 論文總評成績 院系學(xué)術(shù)委員會 主席 (簽名 或蓋章 ):_____________ 院系蓋章 : 注 :本表將裝訂在論文正文后面 ,務(wù)必認(rèn)真填寫 .