【正文】 理 ,接著就強調(diào) :只有對所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換 ,而對極限式中的相加或 相減的部分則不能隨意替換 [2] .注意在這里 ,我們自然就有一個疑問 ,不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對于求不定式極限 0 00 , ,1?? 形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量 情況 ,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時的 情形 ,求極限時能否用等價無窮小量來替換呢？在文獻 [2]中并沒有作詳細的論述 ,這不得不說是一種遺憾 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 2 本文所得到的結果是對等價無窮小量替換 定理的進一步豐富與完善 ,也是對文獻 [2]中的等價無窮小量替換定理的改進和推廣 . 在敘述本文的結果之前 ,首先要說明一下 ,本文的所有結論都是以 0xx? 的極限形式為代表來敘述并證明的 .事實上 ,本文 的結論對于其它所有的極限過程 00( , , )x x x??? ????都成立 ,至于其它類型極限的定理及其證明 ,只要相應地作些修 改即可 . 2． 無窮小量以及等價無窮小量 定義 [2]1 設 f 在某 0 0()x 內(nèi)有定義 .若0lim ()0xxf x? ?,則稱 f 為 當 0xx? 時的無窮小量 . 類似的定義當 00,x x x??? ????時的無窮小量 . 定義 [2]2 設當 0xx? 時 , f 與 g 均為無窮小量 ,若0()lim 1()xxfxgx? ?,則稱 f 與 g 是當0xx? 時的 等價無窮小量 .記作 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?. 不難看出等價無窮小量是 等價關系 ,具有如下性質(zhì) : 性質(zhì) 1 設函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 , 且 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?. ()i 反身性 ． ． ． : 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x?。 )(ii 對稱性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?,則 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x?。 )(i 傳遞性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?, 則 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?. 證 ()i00()lim lim 1 1()x x x xfxfx???? 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x??. )(ii0()lim 1()xxfxgx? ? 000( ) 1 1l i m l i m 1( ) ( )() l i m( ) ( )x x x xxxgx f x f xfx g x g x???? ? ? ?. 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x??. 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 3 )(i00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x???? 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im l im l im( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xf x f x g x f x g xh x h x g x g x h x? ? ?? ? ? ? 00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x??? ? ? 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?? 3． 等價無窮小量替換定理 定理 [2]1 設函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ).f x g x x x? ()i 若0lim ( ) ( ) ,xx f x h x A? ?則0lim ( ) ( ) 。xx g x h x A? ? )(ii 若0()lim ,()xxhx Bfx? ?則0()lim .()xxhx Bgx? ? 注 定理 1 稱為“等價無窮小量替換定理”（證明見參考文獻 [2]） ,說明了在對所求極限式中相乘或相除的因式可用等價無窮小量來替換 . 注 應用等價無窮小量替換 ,必須記住一些常用的等價無窮小量 . 當 0x? 時 ,常見的等價無窮小量有 [4] : ( 1 ) ~ sin ~ ta n ~ a r c sin ~ a r c ta n ~ l n ( 1 ) ~ 1 。xx x x x x x e?? (2) 1 1 ~ 。n xx n?? ( 3 ) 1 ~ l n ( 0 1 ) 。xa x a a a? ? ?且 ( 4 ) (1 ) 1 ~ ( ) 。x x R? ??? ? ? 21(5)1 cos ~ 。2xx? 21(6) se c 1 ~ .2xx? 上面所列的等價無窮小量可用洛必達法則直接證明（證明從略） . 注 在利用等價無窮小量替換時 ,還要記住一些 極限公式 ,如兩個重要極限100s in 1, (1 )lim limxxxx x ex???? ?[2] 和0 1lim xx x? ? ?[5] 等 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 4 4． 等價無窮小量替換定理 的推廣 有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換 定理 2 設函數(shù) ( ), ( ), ( )i if x g x h x在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0 ,)( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2 ,ii nf x g x x x i??. ()i 若0 1lim ( ) ( ) ,ixxni f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ni x h x Ag? ???。 )(ii 若01lim ,()()xxiniBf xhx???? 則01lim ()()xxiniBg xhx???? . 證 ()i 對 n 用數(shù)學歸納法證之 . ① 當 1n? 時 ,由定理 1 可知 ,明題 ()i 成立 。 ② 假設當 ( 1)n k k??時命題 ()i 成立 ,即 “ 若 0 1lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ki x h x Ag? ???” 成立 , 則當 1nk??時 , 只要能證明 “ 若0 11lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A?????則0 11lim ( ) ( )ixxki x h x Ag?????” 成立即可 . 而0 11lim ( ) ( )ixxki x h xg???? 001 2 11 2 1l im ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )kkxxxxg x g x g x g x h xg x g x g x h x g x?????? 00011111111l im [ ( ) ( ) ] ( )l im [ ( ) ( ) ] ( )()l im [ ( ) ( ) ] ( )()ikxxikxxkikxxkkikikix h x g xf x h x g xfxf x h x g xfxg ????????????????? 01111 ()lim[ ( ) ( ) ] ()kixx kkigxf x h x fx?? ????? 0011 11 ()l i m [ ( ) ( ) ] l i m()1kix x x x kkigxf x h xfxAA??? ??????? ? ? ? 這就證明了 當 1nk??時 ,若0 11lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A?????則0 11lim ( ) ( )ixxki x h x Ag?????是 成立 的 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 5 綜上 ①② 可知命題 ()i 成立 . )(ii 命題 )(ii 的證明與 命題 ()i 的證明相仿 ,在此從略 . 注 定理 2 中的 ,AB均可以為 有限 實數(shù) ,也可以為 ?? 或 ? . 注 定理 2顯然是定理 1的直接推廣 .說明了有限個函數(shù)積或商的極限若存在（或 ??,? ） ,則其中全部或部分無窮小量可用其等價無窮小量來替換 . 注 定理 2在使用上把定理 1局限 于 兩個無窮小量積或商的極限替換 ,擴大到任意有限個無窮小量積 或 商的極限 情形 ,從而大大拓展了使用范圍 . 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換 實際上 ,對極限式 中的 兩個無窮小量 相加 的部分是可以 使用等價無窮小量來替換的 ,只不過它有自身的一些限制 ,若要進行替換 ,必須滿足如下定理 3: 定理 3 設函 數(shù) ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且 0( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2)iif x g x x x i??. 若012()lim 1,()xxfx cfx? ? ? ?則 01 2 1 2( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x? ? ?（ c 可以是有限實數(shù) ?? 或 ? ） . 證 012()lim 1()xxfx cfx? ? ? ? ?①當 c 為有限實 數(shù) 時 012( ) ( )lim ( ) ( )xx f x f xg x g x? ?? 0121222() 1()( ) ( )( ) ( )limxxfxfxg x g xf x f x???? 0121 1 21 2 2()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1111xxfxfxg x f x g xf x f x f xcc?????????? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 6 ②當 c?? 時 ,即012()lim ()xxfxfx? ?? 從而021()lim 0()xxfxfx? ? 012( ) ( )lim ( ) ( )xx f