【正文】 ?? ??????? ? ? ? 這就證明了 當(dāng) 1nk??時 ,若0 11lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A?????則0 11lim ( ) ( )ixxki x h x Ag?????是 成立 的 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 5 綜上 ①② 可知命題 ()i 成立 . )(ii 命題 )(ii 的證明與 命題 ()i 的證明相仿 ,在此從略 . 注 定理 2 中的 ,AB均可以為 有限 實(shí)數(shù) ,也可以為 ?? 或 ? . 注 定理 2顯然是定理 1的直接推廣 .說明了有限個函數(shù)積或商的極限若存在（或 ??,? ） ,則其中全部或部分無窮小量可用其等價無窮小量來替換 . 注 定理 2在使用上把定理 1局限 于 兩個無窮小量積或商的極限替換 ,擴(kuò)大到任意有限個無窮小量積 或 商的極限 情形 ,從而大大拓展了使用范圍 . 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價無窮小量替換 實(shí)際上 ,對極限式 中的 兩個無窮小量 相加 的部分是可以 使用等價無窮小量來替換的 ,只不過它有自身的一些限制 ,若要進(jìn)行替換 ,必須滿足如下定理 3: 定理 3 設(shè)函 數(shù) ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且 0( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2)iif x g x x x i??. 若012()lim 1,()xxfx cfx? ? ? ?則 01 2 1 2( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x? ? ?（ c 可以是有限實(shí)數(shù) ?? 或 ? ） . 證 012()lim 1()xxfx cfx? ? ? ? ?①當(dāng) c 為有限實(shí) 數(shù) 時 012( ) ( )lim ( ) ( )xx f x f xg x g x? ?? 0121222() 1()( ) ( )( ) ( )limxxfxfxg x g xf x f x???? 0121 1 21 2 2()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1111xxfxfxg x f x g xf x f x f xcc?????????? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 6 ②當(dāng) c?? 時 ,即012()lim ()xxfxfx? ?? 從而021()lim 0()xxfxfx? ? 012( ) ( )lim ( ) ( )xx f x f xg x g x? ?? ? 0211 2 21 2 1()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )101 1 01xxfxfxg x g x f xf x f x f x?????????? ③ 當(dāng) c??? 時 ,證法同② 綜上①②③所述 ,定理 3 成立 . 注 定理 3 說明了在求極限時 ,若某個因子 是 兩個 ． ． 無窮小量的和 時 ,只要這 兩 ．個 ． 無窮小量滿足定理 3中的條件 ,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小量之和 來替換 . 注 在定理 3 的條件中若 1c?? ,則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量之和的運(yùn)算 問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達(dá)法則 結(jié)合其它方法來求解 ） . 由定理 3可導(dǎo)出 對極限式中的兩個無窮小量相減 的因子 使用等價無窮小量 替換的 條件 ,若要進(jìn)行替換 ,必須滿足如下 推論 1: 推論 1 設(shè)函 ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2)iif x g x x x i??. 若012()lim 1,()xxfx cfx? ??則 01 2 1 2( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x? ? ?（ c 可以是有限實(shí) 數(shù) ?? 或 ? ） . 推論 1 的證明與定理 3 的證明相仿 ,在此從略 . 注 推 論 1 說明了在求極限時 ,若某個因子是 兩個 ． ． 無窮小量 的差時 ,只要這兩個 ． ． 無窮小 量滿足推論 1 中的條件 ,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小量之差 來替換 . 注 在推論 1 的條件中若 1c? ,則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量之差的運(yùn)算問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它 方法來求解） . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 7 推論 2 設(shè)函數(shù) ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 內(nèi)有定義 , 0( ) ~ ( ) ( )iif x g x x x?( 1,2,i? ,)n , 且011()l im 1 ( 1 , 2 , , 1 ) ( 2 ) ,()mxx jjj fx c m n nfx? ?? ? ? ? ? ? ?? （ c 可以是有限實(shí)數(shù) ?? 或 ? ） , 則011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n? ?????. 證 對 n 用數(shù)學(xué)歸納法證之 . ()i 當(dāng) 2n? 時 ,由定理 3 可知 ,結(jié)論成立 。 22a r c ta n ~ 。 0t a n( 2) 11l im ()a r c ta nxxex?? ?。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。 2ln(1 ) 0x??。 3 23 1 c o s6 ( 2 c o s 1 ) 6 ( 1 ( 1 c o s ) 1 ) ~ 6 ~ .3 xx x x?? ? ? ? ? ? ? 222300l n (1 a r c s in ) 116 ( 1 )2 c o sl im l imxx xx xx??? ? ? ? ???? ?由定理 3 可知 原式 2220limx xxx? ?? 2? . (2) 令 1,t x? 則當(dāng) x?? 時 , 0t? ?原式0 s i n l n (1 3 ) s i n l n (1 )l i mt ttt? ? ? ?? 而當(dāng) 0t? 時 ,s i n ln (1 3 ) ~ ln (1 3 ) ~ 3t t t??。 200[ (1 ) 1 ] ~ ( )2xxt d t td t x R? ???? ? ? ??? 。2xx? 21(6) se c 1 ~ .2xx? 上面所列的等價無窮小量可用洛必達(dá)法則直接證明（證明從略） . 注 在利用等價無窮小量替換時 ,還要記住一些 極限公式 ,如兩個重要極限100s in 1, (1 )lim limxxxx x ex???? ?[2] 和0 1lim xx x? ? ?[5] 等 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 4 4． 等價無窮小量替換定理 的推廣 有限個函數(shù)積或商運(yùn)算的等價無窮小量替換 定理 2 設(shè)函數(shù) ( ), ( ), ( )i if x g x h x在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0 ,)( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2 ,ii nf x g x x x i??. ()i 若0 1lim ( ) ( ) ,ixxni f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ni x h x Ag? ???。 generalized theorem. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 1 等價無窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導(dǎo)老師 :張金娥） （湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 中國 黃石 435002） 1． 引言 在數(shù)學(xué)分析中 ,求函數(shù)的極限是最基本的問題之一 ,也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的重點(diǎn) .在這些求極限的問題中 ,最不好掌握的便是 00 型這類 不定式的極限 ,一般見到這一 類型的問題 ,最容易想到的便是洛比達(dá)法則 .事實(shí) 上 ,洛必達(dá)法則也不是萬能的 ,一些問題可能會越用越復(fù)雜 ,并且出現(xiàn) 循環(huán) ,求不出結(jié)果 .例如一個 求極限問題 [1]0 sin (ta n )ta n(sin )limx xx? ? ,它是一個 00 型的不定式極限 .用洛比 達(dá)法則求解如下 , 原式 121222 00 01212ta n( sin ) sin( ta n )sin( ta n ) ta n( sin )[ si n( t a n ) ]c os( t a n ) se c l i ml i m[ t a n( si n ) ]se c ( si n ) c os l imxx xx xx xx x xx xx?? ?? ??? ?? ? ? ?,出現(xiàn)了循環(huán) ,此時用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果 .怎么辦？用等價無窮小量來替 換 ,原式0 0 1s inta nl im l imx xx xx x? ?? ?? ? ?,由此可見洛必達(dá)法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的 ,它的使用 也 具有局限性 .在這里我們看到了等價無窮小量有著無可比擬的作用 ,用等價無窮小量來替換能夠很快地求出結(jié)果 . 等價無窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法 ,然而在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,一般只給出了兩個無窮小量積和商的形式等價無窮小量替換定理 ,接著就強(qiáng)調(diào) :只有對所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換 ,而對極限式中的相加或 相減的部分則不能隨意替換 [2] .注意在這里 ,我們自然就有一個疑問 ,不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對于求不定式極限 0 00 , ,1?? 形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量 情況 ,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時的 情形 ,求極限時能否用等價無窮小量來替換呢？在文獻(xiàn) [2]中并沒有作詳細(xì)的論述 ,這不得不說是一種遺憾 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 2 本文所得到的結(jié)果是對等價無窮小量替換 定理的進(jìn)一步豐富與完善 ,也是對文獻(xiàn) [2]中的等價無窮小量替換定理的改進(jìn)和推廣 . 在敘述本文的結(jié)果之前 ,首先要說明一下 ,本文的所有結(jié)論都是以 0xx? 的極限形式為代表來敘述并證明的 .事實(shí)上 ,本文 的結(jié)論對于其它所有的極限過程 00( , , )x x x??? ????都成立 ,至于其它類型極限的定理及其證明 ,只要相應(yīng)地作些修 改即可 . 2． 無窮小量以及等價無窮小量 定義 [2]1 設(shè) f 在某 0 0()x 內(nèi)有定義 .若0lim ()0xxf x? ?,則稱 f 為 當(dāng) 0xx? 時的無窮小量 . 類似的定義當(dāng) 00,x