【正文】 形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù) 以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分的極限形式中 .不僅擴(kuò)大了 該 定理的適用范圍 ，而且把該定理進(jìn)行了豐富與完善，使得在應(yīng)用上更加靈活方便 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 21 7． 參考文獻(xiàn) [1]魏曉娜 ,李曼生 .等價(jià)無窮小的應(yīng)用研究 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究 ,20xx,29(10):59～ 61. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 (上冊 )[M].第三版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:56～ 57,59,61～ 62. [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) (上冊 )[M].第六版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:60. [4]錢吉林等 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M].第二 版 .武漢 :崇文書局 ,20xx:85. [5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) (上冊 )[M].第四版 .北京 :高等教育出版社 ,1996:56. [6] 儲亞偉 , 劉敏 . 等價(jià)無窮小在極限運(yùn)算中的應(yīng)用 [J]. 阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx,22(3):71～ 72. [7]任全紅 .等價(jià)無窮小量代換求函數(shù)極限的應(yīng)用 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究 ,20xx,上卷(40):81. [8]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M].第二版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:36. [9]屈紅萍 .等價(jià)無窮小代換求極限的方法推廣 [J].保山學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx,(2):56～ 57. 8． 致謝 光陰似箭 ,日月如梭 ,在畢業(yè)論文定稿之際 ,我的大學(xué)四年本科生活也即將畫上了句號 .遙想初入湖北師范學(xué)院文理學(xué)院之時(shí) ,還歷歷在目 ,恍如隔日 ,不免感嘆時(shí)光易逝 ,韶華難追 .然而 ,艱辛而快樂的求學(xué)之路 ,也給我留下了很多難以忘懷的欣慰和幸福 .在此 ,向四年來陪伴我一起走過 ,給予我無私幫助和關(guān)心的老師、朋友以及親人們致以最為誠摯的感謝！ 首先 ,我要衷心的感謝我的指導(dǎo)老師張金娥 ,她在我畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的題目選擇上給予了非常大的幫助 ,并且在整個論文設(shè)計(jì)的過程中一直指導(dǎo)、鼓勵著我 ,使我能夠順利地完成畢業(yè)論文的設(shè)計(jì)工作 .也要感謝吳愛龍老師 ,他在我的論文設(shè)計(jì)中 ,提出了許多中肯而寶貴的意見 ,他不憚其煩 ,為我復(fù)審修改了全部稿件 ,使稿件得到了很大的改進(jìn) ,我對他的這種負(fù)責(zé)精神表示敬佩和學(xué)習(xí) .同時(shí)也要感謝我前文 所 引用或 參考的文獻(xiàn)作者們 ,沒有他們的前期工作 ,也就沒有我現(xiàn)在的論文設(shè)計(jì) . 其次 ,感謝 0901 班 ,感謝數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ,感謝湖北師范學(xué)院 ,能夠在這樣的集體和環(huán)境中度過我的本科學(xué)習(xí)生涯 ,是我一生中最寶貴的財(cái)富 .同時(shí) ,也要感謝我的班主任黃華平老師 ,感謝他這四年來在生活和學(xué)習(xí)上對我無微不至的關(guān)懷與幫 助 . 最后我要感謝的是我最親愛的父母和其他家人 .在我二十多年的成長過程中 ,你們無時(shí)不刻無私的關(guān)懷和奉獻(xiàn) ,是我獨(dú)在他鄉(xiāng)求學(xué)的最大精神支柱 ,也是我可以依偎的最溫馨的港灣 ,你們是我永遠(yuǎn)的牽掛和眷念！ 在此 ,也向尊敬的答辯委員會的各位老師致以我誠摯的感謝 ,你們辛苦了 ,感謝各位評委耐心地審閱我的論文 ,感謝各位評委老師給予我的指導(dǎo)和幫助 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）評審表 所在院系 文理學(xué)院 學(xué)生姓名 朱澤飛 導(dǎo)師姓名 張金娥 所學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生學(xué)號 20xx311010107 導(dǎo)師職稱 助教 論文題目 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 論文主要內(nèi)容簡介 等價(jià)無窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,只給出了兩個無窮小量積與商的形式等價(jià)無窮小量替換定理 .然而該定理只適用于兩個無窮小量積與商的形式 ,這對于其它形式例如 :有限個無窮小量積與商 。 2 1 ~ ln 2x x? 。 03( 3 ) 1 11li m (1 a r c s i n )x xx? ??? 。 2 2 2ln (1 a r c s i n ) ~ a r c s i n ~x x x? 。1 ~ 。 32001(1 c o s ) ~ 26xx xt d t t d t????。 )(ii 假設(shè) ( 2)n k k??時(shí)結(jié)論成立 ,即有 011( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x?????成立 , 那么當(dāng) 1nk??時(shí) , 由 011( ) ~ ( ) ( )kkf x g x x x?? ? 0121( ) ( ) ( )l i m 1() kxx kf x f x f xfx? ?? ? ? ??可知 01111( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )kkk i k iiif x f x g x g x x x??? ? ????? 即 有 110( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x?? ????? 所以當(dāng) 1nk??時(shí) ,結(jié)論也成立 . 綜上 ()i )(ii 可知 ,對 2n??都有011( ) ~ ( ) ( )nniiiif x g x x x?????. 注 顯然推論 2 是定理 3 的直接推廣 .在使用上把定理 3 中局限于兩個無窮小量和的極限替換 ,擴(kuò)大到任意有限個無窮小量和的極限替換情形 ,從而大大拓展了適用范圍 . 注 在推論 2 中 當(dāng) ()ifx( 2, , )in? 中的一部分無窮小量前 面 用減號相連接時(shí) ,此時(shí)可以把這一部分無窮小量改寫為加上這個無窮小量的 相反數(shù) ,使得這部分無窮小量前 面 均 用 加 號 相 連 接 , 這 時(shí) 只 要 滿 足 推 論 2 的 條 件 則 仍然有011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n? ?????成立 . 注 在推論 2 的條件中若 1c?? ,則結(jié)論不真（求這類等價(jià)無窮小量 的 代數(shù) ． ．和 ． 的運(yùn)算問題 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來求解） . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 8 乘方運(yùn)算下的等價(jià)無窮小量替換 在利用等價(jià)無窮小量替換定理求函數(shù)極限的過程中 ,常常會碰到一類不定式0 00 , ,1?? 極限的問題 ,對 于這些冪指函數(shù)的情形現(xiàn)對其作進(jìn)一步的探究 . 作為準(zhǔn)備 ,先證引理 1 引理 [7]1 設(shè)函數(shù) ,fg在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x?( ) 0,fx? ( ) 0,gx? 則011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x ? 證 00l im l n ( ) l im l n ( )x x x xf x g x??? ? ? ? 0011l i m l i m 0l n ( ) l n ( )x x x xf x g x????? 0()()l n ( )11l i m l i ml n ( ) l n ( ) l n ( )l n l n ( )l i ml n ( )x x x xxxgxfxgxf x g x fxfxfx???? 01 ( )l i m [ l n 1 ] 0 0 1 1l n ( ) ( )xxgxf x f x?? ? ? ? ? ? ? 011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x ?? 次 證引理 2 引理 [7]2 設(shè)函數(shù) ,fg在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x?則 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x? ? ?. 證 由對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及重要極限 10(1 )lim xx xe? ??可知 001()1()( ) 0ln (1 ( ))lim()lim ln (1 ( ))ln [ lim (1 ( )) ]xxfxxxfxxffxfxfxfx???????? lne= 1? 從而有 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )f x f x x x?? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 9 同理 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )g x g x x x?? 又 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x? 由 性質(zhì) 1 的 等價(jià)無窮小量的“傳遞性”和“對稱性”可知 有 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x? ? ?. 再證引理 3 引理 3 設(shè)函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?. ()i 若0 ()lim ( ) ,xx fxh x A? ?則0 ()lim ( ) xxx gh x A? ?。x x R? ??? ? ? 21(5)1 cos ~ 。xx g x h x A? ? )(ii 若0()lim ,()xxhx Bfx? ?則0()lim .()xxhx Bgx? ? 注 定理 1 稱為“等價(jià)無窮小量替換定理”（證明見參考文獻(xiàn) [2]） ,說明了在對所求極限式中相乘或相除的因式可用等價(jià)無窮小量來替換 . 注 應(yīng)用等價(jià)無窮小量替換 ,必須記住一些常用的等價(jià)無窮小量 . 當(dāng) 0x? 時(shí) ,常見的等價(jià)無窮小量有 [4] : ( 1 ) ~ sin ~ ta n ~ a r c sin ~ a r c ta n ~ l n ( 1 ) ~ 1 。 limit。 Science of Hubei Normal University, Huangshi, 435002, China) Abstract: The equivalent infinitesimal substitution is an important method in calculating limit. At present, in many