【正文】 sin 0x? . ?滿足定理 6 的條件 ,從而由定理 6 可得 原式2 26ln( 1 )0s in0022ln 2li mxxxtt dtx t d t????? ??? ? 24620114412 [ ln (1 ) ]( ln 2 ) sinlimx xxx???? ??8810 2116(ln 2)limxxx?? 18ln2?? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設(shè)計） 20 注 上面的 8 個例題若改用洛必達法則來求解 ,因需多次求導 ,并且 求導的過程十分繁瑣 ,很難求出結(jié)果 .再一次說明了洛必達法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的方法 .使用本文中推廣后的等價無窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果 ,且不易出錯 .只要充分的掌握好洛必達法則和等價無窮小量的性質(zhì) ,再把本文中的這些定理結(jié)合起來 ,會使這些原來十分復雜的求極限問題變得非常簡單 . 6． 結(jié)束語 本文把 文獻 [2]中 只適用于求兩個無窮小量積或商極限形式的等價無窮小量替換定理推廣到 :有限個無窮小量積與商 。 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設(shè)計） 16 s in ln (1 ) ~ ln (1 ) ~ .t t t?? 而00s i n l n (1 3 ) 3 31s i n l n (1 )l i m l i mtttt??? ? ? ?? ?由定理 3 的 推論 1 可知 0 s i n ln (1 3 ) s i n ln (1 )li mt ttt? ? ? ? 032limt ttt? ??? ?原式 2? . 例 4 求0 s i n s i n 1 0s i n s i n 2 s i n 1 0l i mx xxx x x?? ? ?? ? ? 解 00s i n 1 1s i n 1 0 1 0 1 0l i m l i mxxxx????? ? ? ? s i n s i n 1 0 ~ 1 0 ( 0 )x x x x ?? ? ? ? 又00s i n 1 1s i n 2 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 00s i n s i n 2 2 11s i n 3 3l i m l i mxxx x x xxx??????? ? ? ? ? 00s in s in 2 s in 9s in 1 029109 12l iml imxxx x xxx x xx????? ? ?? ? ??? ? ? s i n s i n 2 s i n 9 s i n 1 0 ~ 2 1 0 ( 0 )x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理 3 的推論 2 可知 : 原式0 102 1 0limx xxx x x?? ?? ? ? ?15?. 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設(shè)計） 17 例 5 求0 2t a n s i nl i m(1 ) ( a r c s i n a r c t a n )x xxxx?? ??。 200( 1 1 ) ~ 2xxn txt d t d tnn? ? ??? . 注 利用定理 5 在求解有關(guān)變上限的定積分時 ,若被積函數(shù)滿足此定理的條件 ,則被積函數(shù)可用它的等價無窮小量來替換 ,替換后可使問題轉(zhuǎn)化為簡單易求的極限形式 . 當 變上限的定積分中的上限由自變量 x 變?yōu)楹瘮?shù) ()ux 時 ,被積函數(shù) 能否再用 其 等價無窮小量替換來求解極限 呢 ？ 事實上 ,當滿足一定 的 條件時 答案是肯定的 . 定理 6 設(shè) ,fg為連續(xù)函數(shù) , u 為可導函數(shù) ,且可行復合 fu 與 ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a? ()limxau x a? ? ,則 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設(shè)計） 14 證 由 “微積分學基本定理” ,“洛必達法則 ” 和“ 復合函數(shù)的極限運算法則” 可得 ()()()()()()( ( ) )( ( ) )limlimxaxauxauxauuxaxaf t dtg t dtf t dtg t dt????????? ()()()()()limxa xauuu x af t dtg t dt???? ()( ( )) ( )( ( )) ( )1limu x a f u x u xg u x u x????? 所以有 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 5． 應用舉例 例 1 求20 (1 c o s ) a r c t a n(1 ) ( s i n ) l n (1 s i n )l i m xx x x xe x x? ? ??? 解 由定理 1 的注 可知 當 0x? 時 , 211 cos ~ 2xx? 。 )(ii 若01lim ,()()xxiniBf xhx???? 則01lim ()()xxiniBg xhx???? . 證 ()i 對 n 用數(shù)學歸納法證之 . ① 當 1n? 時 ,由定理 1 可知 ,明題 ()i 成立 。 )(ii 對稱性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?,則 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x?。極限 。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。 文理學院 College of Arts and Science of Hubei Normal University 學士學位論文 Bachelor’s Thesis 論文題目 等價無窮小量替換定理的推廣 作者姓名 指導教師 所在院系 專業(yè)名稱 完成時間 畢業(yè)設(shè)計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計（論文），是我個人在指導教師的指導下進行的研究工作及取得的成果。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學位論文作者完全了解學校有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。推廣定理 . 分類號 :O17 Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem ZHU Zefei (Tutor: ZHANG Jine) (College of Arts amp。 )(i 傳遞性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?, 則 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?. 證 ()i00()lim lim 1 1()x x x xfxfx???? 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x??. )(ii0()lim 1()xxfxgx? ? 000( ) 1 1l i m l i m 1( ) ( )() l i m( ) ( )x x x xxxgx f x f xfx g x g x???? ? ? ?. 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x??. 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設(shè)計） 3 )(i00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x???? 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im l im l im( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xf x f x g x f x g xh x h x g x g x h x? ? ?? ? ? ? 00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x??? ? ? 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?? 3． 等價無窮小量替換定理 定理 [2]1 設(shè)函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ).f x g x x x? ()i 若0lim ( ) ( ) ,xx f x h x A? ?則0lim ( ) ( ) 。 ② 假設(shè)當 ( 1)n k k??時命題 ()i 成立 ,即 “ 若 0 1lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ki x h x Ag? ???” 成立 , 則當 1nk??時 , 只要能證明 “ 若0 11lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A?????則0 11lim ( ) ( )ixxki x h x Ag?????” 成立即可 . 而0 11lim ( ) ( )ixxki x h xg???? 001 2 11 2 1l im ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )kkxxxxg x g x g x g x h xg x g x g x h x g x?????? 00011111111l im [ ( ) ( ) ] ( )l im [ ( ) ( ) ] ( )()l im [ ( ) ( ) ] ( )()ikxxikxxkikxxkkikikix h x g xf x h x g xfxf x h x g xfxg ????????????????? 01111 ()lim[ ( ) ( ) ] ()kixx kkigxf x h x fx?? ????? 0011 11 ()l i m [ ( ) ( ) ] l i m()1kix x x x kkigxf x h xfxAA?