【正文】 versions of the popular use of mathematical analysis textbook, it only gives two infinitesimal product and quotient in the form of equivalent infinitesimal substitution theorem. whereas the theorem only applies to the two infinitesimal product and quotient’s form, which in regard to other forms , for example: a finite infinitesimal product and quotient。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .本文把 用 等價無窮小量替換定理求 兩個 無窮小量 積與商的 極限 形式 進行了推廣 ,從而擴大了該定理 的使用范圍 ,使得應用更加靈活方便 . 關鍵詞 :無窮小量 。本人授權 大學可以將本學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫的成果作品。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地 方外，不包含其他人或組織已經發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構的學位或學歷而使用過的材料。對 本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已 在文中以明確方式標明。 涉密論文按學校規(guī)定處理。等價無窮小量 。 two and the finite infinitesimal sum and difference。 generalized theorem. 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 1 等價無窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導老師 :張金娥） （湖北師范學院文理學院 中國 黃石 435002） 1． 引言 在數(shù)學分析中 ,求函數(shù)的極限是最基本的問題之一 ,也是數(shù)學分析學習的重點 .在這些求極限的問題中 ,最不好掌握的便是 00 型這類 不定式的極限 ,一般見到這一 類型的問題 ,最容易想到的便是洛比達法則 .事實 上 ,洛必達法則也不是萬能的 ,一些問題可能會越用越復雜 ,并且出現(xiàn) 循環(huán) ,求不出結果 .例如一個 求極限問題 [1]0 sin (ta n )ta n(sin )limx xx? ? ,它是一個 00 型的不定式極限 .用洛比 達法則求解如下 , 原式 121222 00 01212ta n( sin ) sin( ta n )sin( ta n ) ta n( sin )[ si n( t a n ) ]c os( t a n ) se c l i ml i m[ t a n( si n ) ]se c ( si n ) c os l imxx xx xx xx x xx xx?? ?? ??? ?? ? ? ?,出現(xiàn)了循環(huán) ,此時用洛必達法則求不出結果 .怎么辦？用等價無窮小量來替 換 ,原式0 0 1s inta nl im l imx xx xx x? ?? ?? ? ?,由此可見洛必達法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的 ,它的使用 也 具有局限性 .在這里我們看到了等價無窮小量有著無可比擬的作用 ,用等價無窮小量來替換能夠很快地求出結果 . 等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法 ,然而在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學分析教材中 ,一般只給出了兩個無窮小量積和商的形式等價無窮小量替換定理 ,接著就強調 :只有對所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換 ,而對極限式中的相加或 相減的部分則不能隨意替換 [2] .注意在這里 ,我們自然就有一個疑問 ,不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對于求不定式極限 0 00 , ,1?? 形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量 情況 ,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時的 情形 ,求極限時能否用等價無窮小量來替換呢？在文獻 [2]中并沒有作詳細的論述 ,這不得不說是一種遺憾 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 2 本文所得到的結果是對等價無窮小量替換 定理的進一步豐富與完善 ,也是對文獻 [2]中的等價無窮小量替換定理的改進和推廣 . 在敘述本文的結果之前 ,首先要說明一下 ,本文的所有結論都是以 0xx? 的極限形式為代表來敘述并證明的 .事實上 ,本文 的結論對于其它所有的極限過程 00( , , )x x x??? ????都成立 ,至于其它類型極限的定理及其證明 ,只要相應地作些修 改即可 . 2． 無窮小量以及等價無窮小量 定義 [2]1 設 f 在某 0 0()x 內有定義 .若0lim ()0xxf x? ?,則稱 f 為 當 0xx? 時的無窮小量 . 類似的定義當 00,x x x??? ????時的無窮小量 . 定義 [2]2 設當 0xx? 時 , f 與 g 均為無窮小量 ,若0()lim 1()xxfxgx? ?,則稱 f 與 g 是當0xx? 時的 等價無窮小量 .記作 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?. 不難看出等價無窮小量是 等價關系 ,具有如下性質 : 性質 1 設函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內有定義 , 且 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?. ()i 反身性 ． ． ． : 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x?。xx x x x x x e?? (2) 1 1 ~ 。2xx? 21(6) se c 1 ~ .2xx? 上面所列的等價無窮小量可用洛必達法則直接證明（證明從略） . 注 在利用等價無窮小量替換時 ,還要記住一些 極限公式 ,如兩個重要極限100s in 1, (1 )lim limxxxx x ex???? ?[2] 和0 1lim xx x? ? ?[5] 等 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 4 4． 等價無窮小量替換定理 的推廣 有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換 定理 2 設函數(shù) ( ), ( ), ( )i if x g x h x在 0 0()x 內有定義 ,且有 0 ,)( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2 ,ii nf x g x x x i??. ()i 若0 1lim ( ) ( ) ,ixxni f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ni x h x Ag? ???。 )(ii 若0 ()lim ( ) ,xx hxf xB? ?則0 ()lim ( )xx hxg xB? ?. 證 ()i0()lim ( ) xxx ghx? 0( )ln ( )limxx g x h xe?? 0lim ( ) ln ( )xx g x h xe ?? 0lim ( ) ln ( )xx f x h xe ??（由定理 1） 0( ) ln ( )limxx f x h xe?? 0()lim ( ) fxxxA hx??? )(ii0 ()lim ( )hxxxg x? 0( ) ln ( )limxx h x g xe?? 0lim ( ) ln ( )xx h x g xe ?? 0()1ln ( )lim hxgxxxe ?? 0()1ln ( )lim hxfxxxe ?? （由引理 1） 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 10 0lim ( ) ln ( )xx h x f xe ?? 0( ) ln ( )limxx h x f xe?? 0()lim ( )xxhxf xB??? 注 引理 3 說明了對于冪指函數(shù)中的底數(shù)和指數(shù)中的無窮小量均可用其等價無窮小量 來替換 . 由此來證明 定理 4 設函數(shù) , , ,f guv 在 0 0()x 內有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) , ( ) ~ ( ) ( )f x g x u x v x x x?. ()i 若0()lim ( ) ,xxx uf x A? ?則0()lim ( ) xxx vg x A? ?(它是 0 型 )。 200[ (1 ) 1 ] ~ ( )2xxt d t td t x R? ???? ? ? ??? 。sin ~ 。 3 23 1 c o s6 ( 2 c o s 1 ) 6 ( 1 ( 1 c o s ) 1 ) ~ 6 ~ .3 xx x x?? ? ? ? ? ? ? 222300l n (1 a r c s in ) 116 ( 1 )2 c o sl im l imxx xx xx??? ? ? ? ???? ?由定理 3 可知 原式 2220limx xxx? ?? 2? . (2) 令 1,t x? 則當 x?? 時 , 0t? ?原式0 s i n l n (1 3 ) s i n l n (1 )l i mt ttt? ? ? ?? 而當 0t? 時 ,s i n ln (1 3 ) ~ ln (1 3 ) ~ 3t t t??。 解 (1) 這是個 0 型不定式極限 , 當 0x ?? 時 , a r c s i n ~ a r c t a n ~ t a n ~ s i n ~x x x x x 而00a r c s i n 11a r c t a nl i m l i mxxxx????? ? ? ? 00t a n 1 12 s i n 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 0 1lim xx x?? ?（ 由定理 1 的注 ） ?由定理 3 和定理 4 的命題 ()i 可知 原式 20 ()lim xxx xx ????? 333330000( 2 )( 2 ) ( )( 2 ) ( )1limlimlim limxxxxxxxxxxxx??????????????? (2) 它是 0? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 )(ii 可知 原式01()lim xx x??? 01()limt tt???（令 tx? ） 01()1lim tt t?? ???? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 18 (3) 它是 1? 型不定式極限 ,由定理 4 的