【正文】 22300l n (1 a r c s in ) 116 ( 1 )2 c o sl im l imxx xx xx??? ? ? ? ???? ?由定理 3 可知 原式 2220limx xxx? ?? 2? . (2) 令 1,t x? 則當(dāng) x?? 時(shí) , 0t? ?原式0 s i n l n (1 3 ) s i n l n (1 )l i mt ttt? ? ? ?? 而當(dāng) 0t? 時(shí) ,s i n ln (1 3 ) ~ ln (1 3 ) ~ 3t t t??。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。 22a r c ta n ~ 。 )(i 傳遞性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?, 則 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?. 證 ()i00()lim lim 1 1()x x x xfxfx???? 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x??. )(ii0()lim 1()xxfxgx? ? 000( ) 1 1l i m l i m 1( ) ( )() l i m( ) ( )x x x xxxgx f x f xfx g x g x???? ? ? ?. 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x??. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 3 )(i00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x???? 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im l im l im( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xf x f x g x f x g xh x h x g x g x h x? ? ?? ? ? ? 00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x??? ? ? 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?? 3． 等價(jià)無窮小量替換定理 定理 [2]1 設(shè)函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ).f x g x x x? ()i 若0lim ( ) ( ) ,xx f x h x A? ?則0lim ( ) ( ) 。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 )(ii 對稱性 ． ． ． :若 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?,則 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x?。 200( 1 1 ) ~ 2xxn txt d t d tnn? ? ??? . 注 利用定理 5 在求解有關(guān)變上限的定積分時(shí) ,若被積函數(shù)滿足此定理的條件 ,則被積函數(shù)可用它的等價(jià)無窮小量來替換 ,替換后可使問題轉(zhuǎn)化為簡單易求的極限形式 . 當(dāng) 變上限的定積分中的上限由自變量 x 變?yōu)楹瘮?shù) ()ux 時(shí) ,被積函數(shù) 能否再用 其 等價(jià)無窮小量替換來求解極限 呢 ？ 事實(shí)上 ,當(dāng)滿足一定 的 條件時(shí) 答案是肯定的 . 定理 6 設(shè) ,fg為連續(xù)函數(shù) , u 為可導(dǎo)函數(shù) ,且可行復(fù)合 fu 與 ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a? ()limxau x a? ? ,則 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 14 證 由 “微積分學(xué)基本定理” ,“洛必達(dá)法則 ” 和“ 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則” 可得 ()()()()()()( ( ) )( ( ) )limlimxaxauxauxauuxaxaf t dtg t dtf t dtg t dt????????? ()()()()()limxa xauuu x af t dtg t dt???? ()( ( )) ( )( ( )) ( )1limu x a f u x u xg u x u x????? 所以有 ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) .xxaauuf t dt g t dt x a??? 5． 應(yīng)用舉例 例 1 求20 (1 c o s ) a r c t a n(1 ) ( s i n ) l n (1 s i n )l i m xx x x xe x x? ? ??? 解 由定理 1 的注 可知 當(dāng) 0x? 時(shí) , 211 cos ~ 2xx? 。 sin 0x? . ?滿足定理 6 的條件 ,從而由定理 6 可得 原式2 26ln( 1 )0s in0022ln 2li mxxxtt dtx t d t????? ??? ? 24620114412 [ ln (1 ) ]( ln 2 ) sinlimx xxx???? ??8810 2116(ln 2)limxxx?? 18ln2?? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 20 注 上面的 8 個例題若改用洛必達(dá)法則來求解 ,因需多次求導(dǎo) ,并且 求導(dǎo)的過程十分繁瑣 ,很難求出結(jié)果 .再一次說明了洛必達(dá)法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的方法 .使用本文中推廣后的等價(jià)無窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果 ,且不易出錯 .只要充分的掌握好洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小量的性質(zhì) ,再把本文中的這些定理結(jié)合起來 ,會使這些原來十分復(fù)雜的求極限問題變得非常簡單 . 6． 結(jié)束語 本文把 文獻(xiàn) [2]中 只適用于求兩個無窮小量積或商極限形式的等價(jià)無窮小量替換定理推廣到 :有限個無窮小量積與商 。 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 16 s in ln (1 ) ~ ln (1 ) ~ .t t t?? 而00s i n l n (1 3 ) 3 31s i n l n (1 )l i m l i mtttt??? ? ? ?? ?由定理 3 的 推論 1 可知 0 s i n ln (1 3 ) s i n ln (1 )li mt ttt? ? ? ? 032limt ttt? ??? ?原式 2? . 例 4 求0 s i n s i n 1 0s i n s i n 2 s i n 1 0l i mx xxx x x?? ? ?? ? ? 解 00s i n 1 1s i n 1 0 1 0 1 0l i m l i mxxxx????? ? ? ? s i n s i n 1 0 ~ 1 0 ( 0 )x x x x ?? ? ? ? 又00s i n 1 1s i n 2 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 00s i n s i n 2 2 11s i n 3 3l i m l i mxxx x x xxx??????? ? ? ? ? 00s in s in 2 s in 9s in 1 029109 12l iml imxxx x xxx x xx????? ? ?? ? ??? ? ? s i n s i n 2 s i n 9 s i n 1 0 ~ 2 1 0 ( 0 )x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理 3 的推論 2 可知 : 原式0 102 1 0limx xxx x x?? ?? ? ? ?15?. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 17 例 5 求0 2t a n s i nl i m(1 ) ( a r c s i n a r c t a n )x xxxx?? ??。 )(ii 若01lim ,()()xxiniBf xhx???? 則01lim ()()xxiniBg xhx???? . 證 ()i 對 n 用數(shù)學(xué)歸納法證之 . ① 當(dāng) 1n? 時(shí) ,由定理 1 可知 ,明題 ()i 成立 。極限 。 文理學(xué)院 College of Arts and Science of Hubei Normal University 學(xué)士學(xué)位論文 Bachelor’s Thesis 論文題目 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 作者姓名 指導(dǎo)教師 所在院系 專業(yè)名稱 完成時(shí)間 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。推廣定理 . 分類號 :O17 Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem ZHU Zefei (Tutor: ZHANG Jine) (College of Arts amp。 ② 假設(shè)當(dāng) ( 1)n k k??時(shí)命題 ()i 成立 ,即 “ 若 0 1lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A? ???則 0 1lim ( ) ( )ixx ki x h x Ag? ???” 成立 , 則當(dāng) 1nk??時(shí) , 只要能證明 “ 若0 11lim ( ) ( ) ,ixxki f x h x A?????則0 11lim ( ) ( )ixxki x h x Ag?????” 成立即可 . 而0 11lim ( ) ( )ixxki x h xg???? 001 2 11 2 1l im ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )kkxxxxg x g x g x g x h xg x g x g x h x g x?????? 00011111111l im [ ( ) ( ) ] ( )l im [ ( ) ( ) ] ( )