【正文】 兩個以及有限個無窮小量之和與差 。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。 2ln(1 ) 0x??。 66arcsin ~x x。 解 (1) 這是個 0 型不定式極限 , 當 0x ?? 時 , a r c s i n ~ a r c t a n ~ t a n ~ s i n ~x x x x x 而00a r c s i n 11a r c t a nl i m l i mxxxx????? ? ? ? 00t a n 1 12 s i n 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 0 1lim xx x?? ?（ 由定理 1 的注 ） ?由定理 3 和定理 4 的命題 ()i 可知 原式 20 ()lim xxx xx ????? 333330000( 2 )( 2 ) ( )( 2 ) ( )1limlimlim limxxxxxxxxxxxx??????????????? (2) 它是 0? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 )(ii 可知 原式01()lim xx x??? 01()limt tt???（令 tx? ） 01()1lim tt t?? ???? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 18 (3) 它是 1? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 ()iii 可知 原式 310(1 )limxx x??? 03(1 )lim xx x??? 3013[(1 ) ]lim xx xe????? 例 6 求 301a rc sin1 ta n()1 sinlimx xxx? ? ?? 解 原式 301a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s inta n sin(1 )1 sinl imx xxxx? ??? ? 301a r c sinsi n (1 c os )(1 )(1 si n ) c osl i mx xxxxx? ??? ? 3 30112(1 )(1 s i n ) c o sli mx xxxx??? ? （由定理 4 的命題 ()iii ） 1 3230lim (1 s in ) c o sx xx x xe ? ?? （ 由 性質(zhì) 2） e?? 注 在求解 1? 型不定式極限時 ,運用定理 4的命 題 ()iii 并且結合性 質(zhì) 2可減少計算量起到簡化的作用 .但并不是所有的 1? 型不定式極 限都要化為 (1 0)?? 的形式 ,在使用中要綜合分析 ,選擇適當而簡單的方法 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 19 例 7 求 2000( a r c ta n )a r c s in l n (1 )l imxxxoxt d tt d t t d t? ?????? 解 由定理 5 可知 當 0x? 時 ,有 0 arctan ~x tdt? 0 arcsin ~x tdt? 200ln (1 ) ~ 2xx xt d t td t???? ?原式 22220 222()lim xxxx?? ? 1?? 例 8 求22l n ( 1 )20 06sin0( 1 ) ( s e c 1 )a r c s in ( 2 1 )l imxxtx te t d tx d t? ???? ????? 解 當 0x? 時 , 2 22 2~1x xe? ?? 。 0t a n( 2) 11l im ()a r c ta nxxex?? ?。 3 23 1 c o s6 ( 2 c o s 1 ) 6 ( 1 ( 1 c o s ) 1 ) ~ 6 ~ .3 xx x x?? ? ? ? ? ? ? 222300l n (1 a r c s in ) 116 ( 1 )2 c o sl im l imxx xx xx??? ? ? ? ???? ?由定理 3 可知 原式 2220limx xxx? ?? 2? . (2) 令 1,t x? 則當 x?? 時 , 0t? ?原式0 s i n l n (1 3 ) s i n l n (1 )l i mt ttt? ? ? ?? 而當 0t? 時 ,s i n ln (1 3 ) ~ ln (1 3 ) ~ 3t t t??。a r c ta n ( )( 1 ) l imx xxx? ? ? ? ? ( 2 ) 31[ sin l n ( 1 ) sin l n ( 1 ) ]l imx x xx? ? ? ? ? ? 解 (1) 當 0x? 時 , 22arctan( ) ~xx。sin ~ 。 22a r c ta n ~ 。 200[ (1 ) 1 ] ~ ( )2xxt d t td t x R? ???? ? ? ??? 。 ()iii 若01()lim (1 ( )) ,xxx uf x C? ??則01()lim (1 ( )) xxx vg x C? ??(它是 1? 型 ). 證 ()i 由引理 3 可知 0 ()lim ( ) xxx vgx? 0 ()lim ( )uxxxgx?? 0 ()lim ( )uxxxf x?? A? )(ii0()1lim ( )() xvxx gx? 0()1lim ( )() uxxx gx?? （ 由引理 3） 01( ) ln ()lim ux gxxx e?? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 11 0 1lim ( ) ln ()xx ux gxe ?? 00lim ( ) ( ln 1 ln ( ) )()lim1ln ( )xxxxx g xuxgxuee?????? 00()lim1ln ( )lim ( ( )) ln ( )xxxxuxfxu x f xee??????（由引理 1） 0()1ln ( )()limxxuxfxe?? 00()()1lim ( )()1lim ( )()uxxxvxxxfxBBgx?????? ()iii01()(1 ( ))lim vxxx gx? ? 0ln (1 ( ))()lim gxvxxx e??? 00ln (1 ( ))lim()ln (1 ( ))lim()xxxxgxvxfxuxee?????? (由 定理 1 和 引理 2) 001()1()ln( 1 ( ) )ln( 1 ( ) )limli mxxuxuxxxfxfxee?????? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 12 01()lim (1 ( ) ) uxxxCfx???? 01()li m (1 ( ) ) xxx vg x C?? ? ? 注 定理 4說明了在求冪指函數(shù)不定式 0 00,? 的極限時 ,可以 同時 ． ． 直接 地 對指數(shù) ,底數(shù)中的無窮小量 應用等價無窮小量來替換 . 注 對于求 10(1 0) (1 0)????型不定式極限 ,當?shù)诪?1 ( )gx? ,指數(shù)為 1()vx時 , ()gx和 ()vx可 分別用其等價無窮小量來替換 . 注 ,ABC 均可以為 有限 實數(shù) ,也可以為 ?? 或 ? . 對于定理 4 中的命題 ()iii 為了計算上的方便 ,現(xiàn)證明一個重要的性質(zhì) . 性質(zhì) 2 若0 0( ) 0 , ( )lim limx x x xu x x??? ? ?.則00() ( ) ( )l i m(1 ( ) )l i m xxxx vx u x v xux e ?? ? ?. 證 0 ( ) 0limxxux? ? 0l n( 1 ( ) ) ~ ( ) ( )u x u x x x? ? ? 0 ()(1 ( ))lim vxxx ux??? 0( ) ln (1 ( ))lim v x u xxx e ??? 0 ( ) ln (1 ( ))limxx v x u xe ? ?? 0 ( ) ( )limxx u x v xe ?? 變上限 定積分函數(shù)的等價無窮小量替換 在求解不定式極限時 ,常常會遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限 ,通常是 00型或 ?? 型 ,一般地用洛必達法則及變限積分的性質(zhì)來去掉積分 號 ,但是在用此方法求解比較復雜的函數(shù)時 ,因需多次求導 ,計算繁瑣且易出錯 .事實上 ,對于此類型的求極限問題 ,當滿足一定的條件時 ,可以根據(jù)以下定理來求解 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 13 定理 5 設 ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a?且 ()fx與 ()gx 在 [, ]ax 上連續(xù) ,則 有 ( ) ~ ( ) ( ) .xxaaf t d t g t d t x a??? 證 由 “微積分學基本定理” 和 “洛必達法則” 可知 ()()limxaxaxaf t dtg t dt??? ( ( ) )( ( ) )()()1limlimxaxaxaxaf t dtg t dtfxgx????????? 從而 ( ) ~ ( ) ( ).xxaaf t d t g t d t x a??? 注 由定理 5 可得常用的變上限定積分的等價無窮小量有 : 當 0x? 時 ,0 0 0 0s i n ~ a r c s i n ~ t a n ~ a r c t a n ~x x x xt d t t d t t d t t d t? ? ? ? 0 ( 1) ~x te dt??200ln (1 ) ~ 2xx xt