等價無窮小量替換定理的推廣本科畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-28 04:04本頁面
【正文】 兩個以及有限個無窮小量之和與差。兩個以及有限個無窮小量之和與差。 。解 這是個型不定式極限,當(dāng)時,而（）由定理3和定理4的命題可知原式 它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式（令） 它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式例6 求解 原式（由定理4的命題）（由性質(zhì)2） 在求解型不定式極限時,在使用中要綜合分析,選擇適當(dāng)而簡單的方法.例7 求解 由定理5可知當(dāng)時,有 原式例8 求解 當(dāng)時,。 。 由定理3可知 原式 . 令則當(dāng)時, 原式而當(dāng)時,。 由定理2可得 原式 . 例2 求 解 原式（由定理1） （令）例3 求 解 當(dāng)時,。若則(它是型).證 由引理3可知（由引理3）（由引理1） (由定理1和引理2) 定理4說明了在求冪指函數(shù)不定式的極限時,可以同時直接地對指數(shù),底數(shù)中的無窮小量應(yīng)用等價無窮小量來替換. 對于求型不定式極限,當(dāng)?shù)诪?指數(shù)為時,和可分別用其等價無窮小量來替換. 均可以為有限實數(shù),也可以為或.對于定理4中的命題為了計算上的方便,現(xiàn)證明一個重要的性質(zhì).性質(zhì)2 .證 變上限定積分函數(shù)的等價無窮小量替換在求解不定式極限時,常常會遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限,通常是型或型,一般地用洛必達法則及變限積分的性質(zhì)來去掉積分號,但是在用此方法求解比較復(fù)雜的函數(shù)時,因需多次求導(dǎo),對于此類型的求極限問題,當(dāng)滿足一定的條件時,可以根據(jù)以下定理來求解.定理5 設(shè)且與在上連續(xù),則有證 由“微積分學(xué)基本定理”和“洛必達法則”可知 從而 由定理5可得常用的變上限定積分的等價無窮小量有:當(dāng)時, 。若則.證 （由定理1）（由引理1） 引理3說明了對于冪指函數(shù)中的底數(shù)和指數(shù)中的無窮小量均可用其等價無窮小量來替換.由此來證明定理4 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則(它是型)。②假設(shè)當(dāng)時命題成立,即“若則”成立,則當(dāng)時,只要能證明“若則”成立即可.而這就證明了當(dāng)時,若則是成立的.綜上①②可知命題成立. 命題的證明與命題的證明相仿,在此從略. 定理2中的均可以為有限實數(shù),也可以為或. （或,）,則其中全部或部分無窮小量可用其等價無窮小量來替換. 定理2在使用上把定理1局限于兩個無窮小量積或商的極限替換,擴大到任意有限個無窮小量積或商的極限情形,從而大大拓展了使用范圍. 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換實際上,對極限式中的兩個無窮小量相加的部分是可以使用等價無窮小量來替換的,只不過它有自身的一些限制,若要進行替換,必須滿足如下定理3:定理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且.若則（可以是有限實數(shù)或）.證 ①當(dāng)為有限實數(shù)時②當(dāng)時,即從而 ③當(dāng)時,證法同②綜上①②③所述,定理3成立. 定理3說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的和時,只要這兩個無窮小量滿足定理3中的條件,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小量之和來替換. 在定理3的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量之和的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結(jié)合其它方法來求解）.由定理3可導(dǎo)出對極限式中的兩個無窮小量相減的因子使用等價無窮小量替換的條件,若要進行替換,必須滿足如下推論1:推論1 設(shè)函在內(nèi)有定義,且有.若則（可以是有限實數(shù)或）.推論1的證明與定理3的證明相仿,在此從略. 推論1說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的差時,只要
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