等價無窮小量性質(zhì)的理解、推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-28 05:16本頁面
【正文】 中都有詳細(xì)的分析與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例：求函數(shù)的極限31臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計）5在求極限中經(jīng)常用到的等價無窮小量有 ～ ～ ～ ～ ～xsinarcsixtntarcx～ 1, ～ , ～ ,( →0).ln(1)x?e1cosx?21xa?l例 1 求 .20tanlimx?解 當(dāng) →0 時, ～ , ～ .1cosx?2tanx2原式= 204lix?= ..8例 2 求 .30tansilimxx??解 原式= ??30i1colsxx= (∵ ～ , ～ )230licosx??in1cosx?2= .12此題也可用洛必達法則做,但不能用性質(zhì)②做.所以, = =0,不滿足性質(zhì)②的條件,否則得出錯誤結(jié)論 ??30l?等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用.如：利 用 等 價 無 窮 小 ， 在 做 近 似 計 算 ， 有 時 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，例 3 654求 的 近 似 值解 因為 時,0x.1nx??所以.?臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計）6 故 準(zhǔn) 確 值 ， 保 留 小 數(shù) 點 后 位 可 得 )/..6??相 對 誤 差 為 （ 這 說 明 計 算 精 度 已 經(jīng) 很 高利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限3.例 4 求極限 20lim(cos)inxxe???解 由于函數(shù)的分母中 ～ （ 0）,因此只需將函數(shù)分子中的 與分母2x?21x?中的 cosx 和 分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示 ,即：2xe,2241()8ox????,2cosx）.2e1o()x??所以.201lim(cos)inxxe???442022()()88limlim33o1xx xox??????12?例 5 由拉格朗日中值定理,對任意的 ＞1,存在 ,使得?(1)?.證明 .ln(1)l()ln(10)xx??????0li()2x??解 因 2ln(1)(),ox??,x??所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有 2()()1oxo????即,2()x??臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計）7所以,.2022()lim()lixxo?????以上例子能使我們更加深刻的理解無窮小與無窮小或函數(shù)與無窮小的相關(guān)運算,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運用. 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用34在正項級數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無窮?。涸O(shè) 和 都是正項級數(shù),1nu???1nv?① 如果 =l(0≤l+∞) ,且級數(shù) 收斂,則級數(shù) ??1n?1nu??② 如果 =l0 或 l =+∞,且級數(shù) 發(fā)散,則級數(shù) ??1nv?1n?當(dāng)①=1 時,∑ ,∑ 就是等價無窮小量 .由比較審斂法的極限形式知 ,∑ 與∑ 同斂nu unv散性,只要已知∑un,∑ 中某一個的斂散性,例 6 n1sec()??????????判 定 的 斂 散 性解 .2n21limlin?????211(,0,sec())nn???此 時,所以, ??又 收 斂 n1sec()????????? 例 7 研究 的斂散性1l()n????解 ∵ = =1 limn??lin(1)??而∑ 發(fā)散, 1∴ ()????臨沂大學(xué)理學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計）8從以上的例題可以看出,在級數(shù)斂散性的判別中,很多題目中,我們需要綜合運用羅比達法則、等價無窮小量的性質(zhì)、泰勒級數(shù)等相關(guān)知識,才能達到簡化運算的目的.4等價無窮小量的優(yōu)勢 這一部分的內(nèi)容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法的鮮明對比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時,我也希望自己能找到一個他們沒有整理過的知識點經(jīng)過自己的努力完成對它的比較與分析,因此我選擇： 運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢例8 求 0ln(13)imsx??解 解法一（等價無窮小量替換）：,由無窮小替換定理有： =由 于 l(+)等 價 于 ,ix等 價 于 3則 0ln(13)imsx??.03xlim1??解法二（兩個重要極限）：由于,1300sinlimn()
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