反對稱矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-27 14:50本頁面
【正文】 本文主要描述反對稱矩陣的定義，反對稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值及特征向量的性質(zhì)以及反對稱矩陣在求矩陣特征值及秩，線性變換和歐式空間問題中的應(yīng)用等.成績學(xué)院負(fù)責(zé)人（簽名） 年 月 日注：文科論文摘要不少于500字，理科不少于300字。評閱人意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、數(shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒?yàn)是否合理，主要觀點(diǎn)或結(jié)果是否正確，有何獨(dú)到的見解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評價(jià)） 成績： 評閱人（簽名）： 年 月 日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計(jì)。 指導(dǎo)教師簽字： 學(xué)生簽字：學(xué)院學(xué)位分委員會主任簽字： 年 月 日注：本科論文（設(shè)計(jì)）的指導(dǎo)應(yīng)不少于5次，如表格空間不足可另附頁。本文首先給出反對稱矩陣的概念，然后對反對稱矩陣的性質(zhì)從基本常用的、秩、特征值方面對反對稱矩陣的性質(zhì)進(jìn)行分析，通過分析舉例說明性質(zhì)的應(yīng)用。，貼近學(xué)生實(shí)際，有實(shí)用效果，可供同學(xué)參考。3課題研究前期準(zhǔn)備工作充分。反對稱矩陣作為矩陣的一種類型，研究起來有一定的基礎(chǔ)。以往的有關(guān)反對稱矩陣的文章都是理論行的文章，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于在介紹反對稱矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上預(yù)加上一些典型例題及注意事項(xiàng)和總結(jié)，使讀者在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上學(xué)會如何正確適當(dāng)?shù)睦谩Ｈ?、與本課題相關(guān)的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預(yù)計(jì)可能有所創(chuàng)新的方面反對稱矩陣在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有很重要的地位，因此，很多學(xué)者都對反對稱矩陣做了比較深入的研究。作為矩陣的一種特殊類型，反對稱矩陣有很多特殊性質(zhì)并且有廣泛的應(yīng)用。作為矩陣的一種特殊類型，反對稱矩陣有很多特殊性質(zhì)并且有廣泛的應(yīng)用。本文從基礎(chǔ)理論和實(shí)際應(yīng)用方面討論了反對稱矩陣的基本性質(zhì)，給出反對稱矩陣有關(guān)秩及特征值方面的性質(zhì)，并引入了相關(guān)應(yīng)用，對此我們要仔細(xì)琢磨和思考，努力掌握好反對稱矩陣的相關(guān)問題.參考文獻(xiàn)[1][M].北京：高等教育出版社，215236，296319.[2]劉玉森，[M].北京：地質(zhì)出版社，401431.[3][M].哈爾濱：黑龍江教育出版社,.[4]樊惲，錢吉林，岑嘉評等。由例3和例7可知，應(yīng)注意：有關(guān)特征值方面的問題，1不是A的特征值，則|E+A|≠0經(jīng)常用到。分析： 要求A+B可逆，就需求證|A+B|≠0，又A+B=B(E+B1A),則只需求證|E+B1A|≠0，即1不是B1A的特征值，由反對稱矩陣特征值相關(guān)性質(zhì)即可求證。證明： 由性質(zhì)13可知不是A的特征值，所以，所以可逆。證明： 由于是反對稱矩陣A的特征值，所以.,從而，其中n是A的階，所以也是A的特征值。證明： 設(shè)A是實(shí)反對稱矩陣，為特征向量，則，即：得：,.所以，為純虛數(shù)或零。要證秩=n，只需證=0即可。例6． 設(shè)A為n階實(shí)可逆反對稱矩陣，b為n元實(shí)列向量，則秩=n.分析：本題涉及到反對稱矩陣、秩，應(yīng)先考慮反對稱矩陣秩的相關(guān)性質(zhì)，由以上性質(zhì)可知應(yīng)用性質(zhì)12。例5． 求證：若A為反對稱矩陣，則秩（A）為偶數(shù)。必要性: 若A,B合同，根據(jù)性質(zhì)9，A必與具有（*）形式的矩陣C合同，這樣，秩（A）=秩（C）=秩(B).注：合同矩陣有相同的秩。因秩(A)=秩(B)，所以C和C1主對角線上的分塊的塊數(shù)必相同，即C=C1。證明： 設(shè)A,B是數(shù)域F上兩個(gè)n階反對稱矩陣。由歸納法原理，結(jié)論對r≥0的整數(shù)成立。假設(shè)r=k時(shí)，結(jié)論成立，即當(dāng)A的所有k+1階與k+2階主子式均為0時(shí)，r（A）≤=k+1時(shí)，已知A的所有k+2階與k+3階主子式均為0，此時(shí)若A的所有k+1階主子式也均為0，則由歸納法假設(shè)可得：r（A）≤kk+1。（2）在求反對稱矩陣的相關(guān)題目時(shí)，性質(zhì)7，即A為實(shí)反對稱矩陣，故xT Ax=0經(jīng)常被用到.引理1[2]： 設(shè)A為n階矩陣（n≥2），那么秩（A*）=性質(zhì)10： 設(shè)A是n階反對稱矩陣，且A中有一個(gè)r階主子式≠0，且含的r+2階主子式均為零，則r（A）=r.證明： 因反對稱矩陣的任一主子陣仍為反對稱矩陣，故當(dāng)A有一個(gè)r階主子式≠0時(shí)，r必為偶數(shù)，從而A的任r+1階主子式全為0.不妨設(shè)位于A的左上角（否則可同時(shí)調(diào)換行與相應(yīng)的列，使之位于左上角，這不影響行列式的值為0與否），記加A中第i行與第j列元素所成的加邊行列式為=.考慮r+2階主子式C=.|C|是含的一個(gè)r+2階主子式，據(jù)已知，|C|=0，進(jìn)而知r（C*）≤1，故C*的2階主子式=0=0，但與均是A的含的r+1階主子式，都為0；另一方面，=；故||2=0=，A的含的任一加邊子式全為0，所以r（A）=r.性質(zhì)11: 設(shè)A是反對稱矩陣，若A的所有r+1階與r+2階主子式均為0，則r（A）≤r.證明: 對r用數(shù)學(xué)歸納法。證法2： 因A是實(shí)
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