【正文】 參考文獻(xiàn) [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 . 高等代數(shù)【 M】 .北京：高等教育出版社， 2021. [2]張禾瑞 .高等代數(shù)第五版【 M】 .北京：高等教育出版社， 2021. [3]錢吉林 .高等代數(shù)題解精粹【 M】 .北京：中央民族大學(xué)出版社， 2021. [4]徐仲，陸全 .高等代數(shù)考研教案【 M】 .西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社， 2021. Identification and application of the diagonal matrix Abstract:Diagonalization of the matrix is a reflection of an important concept matrix properties, whether for mathematics majors of Higher Algebra and not learn mathematics majors in linear algebra to learn and understand the meaning of it is necessary. This paper mainly studies the diagonalization of matrix problems, summarizes the diagonalization of matrix operations, properties, method, as well as in linear algebra and matrix diagonalization, some knowledge related to the permeability of ordinary differential equations, spatial analytic geometry problems, makes the diagonalization of matrix with understanding and a more profound understanding, which can be more flexible use of knowledge to solve related problems. Keywords: diagonalization of the matrix eigenvalue eigenvector 。 （ 3） 11nnxy????????=A nnxy??????= 2A 11nnxy????????=? = nA 11xy??????= nA 1212??????由 1PAP? = 1200? ???????，有 A=P 1200? ???????1P? 。 （ 2）令 P=? ?12??= 4111???????，則由 |P|=5≠ 0知 12,??線性無關(guān)。 解：（ 1）由題設(shè)可列出 11nnxy????????與 nnxy??????的關(guān)系式1nx? =5/6 nx +2/5(1/6nx + ny )。設(shè)第 n年一月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為 nx 和 ny ，記成向 量 nnxy??????。 例 1：某實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的統(tǒng)計，然后將 1/6 熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。 解：這里 n=5， ? =4是 A的 5重特征值，直接計算可得 3( 4 )AE? =0 。因此，基解矩陣就是 Exp（ At） = 2te 101t??????。x = 2102??????x 的基解矩陣。x =Ax 的基解矩陣，且 (0)? =E，利用對角矩陣可以較容易的解決一些求基解矩陣的問題。帶入 dxdt =Ax ，得 pdydt =APy，即 dydt =（ 1P? AP） y=vy寫成分量形式為 1dydt =71y ， 2dydt =7 2y ， 3dydt =23y 解得 1y = 71 tce ，2y = 72 tce ， 3y = 23 tce? （ 1 2 3,c c c 為任意實(shí)數(shù)）故由 x=Py，得7 7 21 1 2 3722 1 3723 2 3222t t tttttx c e c e c ex c e c ex c e c e???? ? ? ? ?????? ???（ 1 2 3,c c 為任意實(shí)數(shù)）。令 1 1 22 0 10 1 2P?????????則 1 7 0 00 7 00 0 2P AP?????????=∧。 矩陣對角化 在常微分中的應(yīng)用 由于微分方程組中每一方程都包含若干個變量，直接求解不方便；如果利用矩陣可對角化的理論，問題的求解就容易得多。將它們單位化得111362121 2 3361 112 360 , ,? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?。2 (1, 1,1)a ?? ，當(dāng) ? =1時，得特征向量 39。因?yàn)?A與 B相似，所以 A與 B有相同的特征值 1? =0， 2? =1， 3? = 1? =0， 2? =1，3? =4 分別代入 |? EA|= a=3,b=1,所以 A=1111 3 1111????????.當(dāng) ? =0時，得特征向量 39。 解： f(x,y,z)= 2 2 2 2 2 2x ay z bx y x z y z? ? ? ? ?,且 f 對應(yīng)的矩陣為 A，則A= 1111 1 1bba?????????？芍猣(1x , 2x , 3x )=1 表示旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面?？汕蟮?|aEA|= 2( 2)a? （ a+7）于是 A的特征值為 1a = 2a =2， 3a = 1a = 2a =2的特征向量為12( 2 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 1 )TTpp? ? ?，將其正交化再單位化得52 1 2 4125 5 3 5 3 5 3 5( , , 0 ) , ( , , )TTqq???又對應(yīng) 3a =7的特征向量為1 2 23 3 3 3( , , )Tq ? ? ? ，故2 2 135 3 51 4 235 3 55 23350T???????????1 2 22 2 42 4 2??????????2 2 135 3 51 4 235 3 55 23350???????????= 2 27???????。 例 7：求一正交變換，將二次型f(1x , 2x , 3x )= 2221 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 4 8x x x x x x x x x? ? ? ? ?化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出f(1x , 2x , 3x )=1 表示何種二次曲面。1PP?? 得1P? nA P= 300 ( 1)nn???????可得 nA =P 300 ( 1)nn???????1P? = 3 ( 1) 3 ( 1)223 ( 1) 3 ( 1)n n n nn n n n? ? ? ?? ? ? ???????。P AP= 3001???????。112 22( , )? ??。11122( , )? ?。 例 6：設(shè) A= 1221??????，求 nA （ n為正整數(shù)）。由基1, 2 3,ee e到基 1 2 3,bb b 的過渡矩陣為 Q= 1 2 10 1 20 2 1???????由此可得 1Q? AQ= 1 55???????，1Q? kA Q=155k???????= 1 5( 5)kkk???????。 解：由于 A 的特征多項(xiàng)式為∣ aEA∣ = 1 4 20 3 40 4 3aa