有關對角矩陣的證明與應用畢業(yè)論文設計-wenkub
2023-06-14 14:20:20 本頁面
【正文】 00nnnnq q qqqq????????. 下面用數(shù)學歸納法證明上面 A 可以分解成 A=PQ 的形式是正確的。利用以上結論可以證明一些例題。 本科生畢業(yè)論文設計 有關對角矩陣的證明與應用 作 者 姓 名 ： 韓忠珍 指 導 教 師 ： 劉淑霞 所 在 學 院 ： 數(shù)學與信息科學學院 專 業(yè) （ 系 ） ： 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級 （ 屆 ）： 2021 屆數(shù)學 C 班 二〇一 三 年 五 月 一 日目 錄 有關對角矩陣的證明與應用 數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 指導教師 劉淑霞 作 者 韓忠珍 摘要： 矩陣的對角化是反映矩陣性質的一個重要概念 ,不論是對數(shù)學專業(yè)學生學習高等代數(shù)還是非數(shù) 學專業(yè)學生學習線性代數(shù)而言學習和理解它的含義都是十分必要的。 例 1：設 n 級矩陣 A 的順序主子式都不等于零，則 A 可以唯一的分解成 A=LDU的形式，其中 L為單位下三角矩陣（對角線元素都是 1 的下三角 矩陣）， D 為對角矩陣， U為單位上三角矩陣。⑴當 n=1時， A=PQ 顯然正確。0nnQ p aa???????。 P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????= 10*1?????? 11 00 nnpp??????， Q=11 12 122 2000nnnnq q qqqq????????= 11 00 nn??????39。下證 A=LDU分解的唯一性。唯一性得證。令iA = 1T?00iI????????T，（ i=1,2， ? ,k） ,則 2iA = iA ，（ i=1,2， ? ,k），此即 iA 為冪等陣。 證明一個矩陣可對角化 矩陣相似對角化 的定義 ： 所謂矩陣相似對角化是指矩陣和某對角形矩陣相似。 第一種情況：用 定理 1來做 下面 證明題。于是，由題設條件 r（ A） =rn 得 r(AE)=nr，從而齊次線性方程組 A? =（ A0E） ? =0的基礎解析含有 nr 個解向量，即 A的屬于特征值 ? =0的線性無關特征向量有 nr個；而齊次線性方程組（ AE） ? =0的基礎解析含有 r個解向量，即 A的屬于特征值 ? =1的線性無關特征向量有 r個。 例 4：設 n 階方陣 A 的 n 個特征值互異，又設 n 階方陣 B 滿足 AB=BA，證明 B 可對角化。 例 5：證明： n 階方陣 A 相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數(shù) w，由 2( ) 0wE A x??可以導出 ( ) 0wE A x??，其中 E是單位方陣， x是 n維列向量。設 11nT A T??????????。所以秩 ()wE A? =秩 2()wE A? ，于是 1dimV =n秩 ()wE A? =n秩 2()wE A? = 2dimV 。從而 1T? 2()wE A? T= 212()0()kkn??????????????仍有秩 ()wE A? =秩 2()wE A? 。用反證法，若 A不相似于對角矩陣，一定存在若當性矩陣 J使111stT A TJJ???????? ??????其中11111nnaJa ??????????，1n ＞ w=a，則1T? ()wE A? T=10110staaaE J???????????????????????????1T?2()wE A? T=2122()()0 0 1100()staaaE J???????????????????????????從而 1dimV ＜ 2dimV 從而與 1V =2V 矛盾。 第三種情況：用 A可對角化的充分必要條件（ 3） A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等來做一些證明題?，F(xiàn)在來求它們的幾何重數(shù)。另一方面，有（ IA） （ I+A） =0，得到 r（ IA） + r（ I+A） ≤ n。由此知 A可對角化。設 A相似與對角陣，即存在可逆陣 T=（ 12, ,..., n? ? ? ），使 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????則 1T? （ 1a EA）= 21210()()rssra a Ea a E????????.所以秩（ 1a EA） =2r +? + sr =n1r 。因此（ ia EA）? =0 的基礎解析所含向量為 ir 個（ i=1,2， ? ,s），那么在（ 1a EA） ? =0中，有 1r 個線性無關的特征向量為11,..., r??；在（ 2a EA） ? =0 中，有 2r 個線性無關的特征向量為1 1 21,...,r r r????； ? 。T AT = 1T? AT 成對角形。()AB = 39。事實 上，存在正交陣 P，使 1P? AP=39。1,..., saa互不相同。iB = iB （ i=1， 2， ? ,n），從而存在正交陣 iQ ，使39。00 ssaEaE??????1s??????=39。 例 2：設 A,B 都是 n 階正定矩陣，證明：如果 AB正定，則 11BA??? 也是正定矩陣。39。P AP= 39。T BT為正定矩陣，所以 1b ， 2b ， ? , nb 全大于零。 1 1 1(( ) )PP? ? ? =P 39。P ，故 1P? （ 1B? 1A? ）139。 設 A,B 均為 n級正定矩陣， , 1,2,...,ia i n? 為 A的 n個特征值，, 1, 2,...,jb j n? 為 B的 n個特征值。 1,..., na a a a??全部大于零，故存在實數(shù) a，使得 aEA為正定矩陣。還有存在正交陣 P,Q 使 39。()P A cE P? = 1nacac????????， 39。 ()X A cE dE B X? ? ?= 39。由于39。由 A cE dE B? ? ? 為正定矩陣知 dc+is 0, 1,2,...,in? .即 is cd0, 1,2,...,in? 。 例 4：設 A， B為數(shù)域 P上的兩個不同的 n階對稱矩陣，且 r(BA)=r，這里 r(A)代表矩陣 A 的秩。()BA? = 39。P (BA)P=100raa??????????，故 BA=P100raa??????????39。P , B 1rC? =P0000ra??????????39。P 。 解：由于 A 的特征多項式為∣ aEA∣ = 1 4 20 3 40 4 3aaa? ? ?????=(a1)( 2a 25),故 A 的特征值為 1 2 31, 5, 5a a a? ? ? ?。 例 6：設 A= 1221??????，求 nA （ n為正整數(shù)）。112 22( , )? ??。1PP?? 得1P? nA P= 300 ( 1)nn???????可得 nA =P 300 ( 1)nn???????1P? = 3 ( 1) 3 ( 1)223 ( 1) 3 ( 1)n n n nn n n n?
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