有關(guān)對角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文設(shè)計(jì)-資料下載頁
2025-06-03 14:20本頁面
【正文】 c c 為任意實(shí)數(shù)）故由 x=Py，得7 7 21 1 2 3722 1 3723 2 3222t t tttttx c e c e c ex c e c ex c e c e???? ? ? ? ?????? ???（ 1 2 3,c c 為任意實(shí)數(shù)）。 此外，根據(jù)矩陣 ()t? =exp（ At）是 39。x =Ax 的基解矩陣，且 (0)? =E，利用對角矩陣可以較容易的解決一些求基解矩陣的問題。 例 10：試求 39。x = 2102??????x 的基解矩陣。 解：因?yàn)?A= 2102??????= 2002??????+ 0100??????，而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的，我們得到 exp（ At） =exp 2002??????t exp 0100??????t= 2200tte e??????22210 1 0 1 ...0 0 0 0 tEt ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 但是 20100??????= 0000??????，所以級數(shù)只有兩項(xiàng)。因此，基解矩陣就是 Exp（ At） = 2te 101t??????。 例 A= 4 1 0 0 00 4 1 0 00 0 4 0 00 0 0 4 00 0 0 0 4???????????，試求 exp（ At）。 解：這里 n=5， ? =4是 A的 5重特征值，直接計(jì)算可得 3( 4 )AE? =0 。因此，利用公式 exp（ At） = te? exp( )A E t?? = te?110iijn tji??? ??()iAE?? 可得 exp（ At）= 4te? 2 22( 4 ) ( 4 )tE t A E A E??? ? ? ???，這樣一來 exp（ At）= 4te?221 0 1 0 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0tt??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???= 4te?2211111ttt?????????? 對角矩陣在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，這里只是略微談一下。 例 1：某實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的統(tǒng)計(jì)，然后將 1/6 熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有 2/5 成為熟練工。設(shè)第 n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為 nx 和 ny ，記成向 量 nnxy??????。 （ 1） 求 11nnxy????????與 nnxy??????的關(guān)系式并寫成矩陣形式11nnxy????????=A nnxy??????； （ 2） 驗(yàn)證1 41? ???????，2 11? ????????是 A的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并寫出相應(yīng)的特征值； （ 3） 當(dāng) 11 211 2xy ?????????????時(shí)，求 11nnxy????????。 解：（ 1）由題設(shè)可列出 11nnxy????????與 nnxy??????的關(guān)系式1nx? =5/6 nx +2/5(1/6nx + ny )。 1ny? =3/5(1/6nx + ny )化簡得11nnxy????????= 9 210 53110 5??????nnxy??????，于是 A= 9 210 53110 5??????。 （ 2）令 P=? ?12??= 4111???????，則由 |P|=5≠ 0知 12,??線性無關(guān)。因?yàn)锳1? = 41??????=1? ，故 1? 為 A 的特征向量，且相應(yīng)的特征值為 1? = A 2? = 1212???????= 122? ，故 2? 為 A 的特征向量，且相應(yīng)的特征值為 2? = 12 。 （ 3） 11nnxy????????=A nnxy??????= 2A 11nnxy????????=? = nA 11xy??????= nA 1212??????由 1PAP? = 1200? ???????，有 A=P 1200? ???????1P? 。于是 nA = P 1200 n? ???????1P? ，又 1P? =1/5 1114???????，故nA = 4111???????100 (1/ 2)n??????1/5 1114???????=1/5 11224 ( ) 4 4 ( )1 ( ) 2 3( )nn??????????因此11nnxy????????= nA 1212??????= 12110 128 3( )2 3( )nn????????。 參考文獻(xiàn) [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 . 高等代數(shù)【 M】 .北京：高等教育出版社， 2021. [2]張禾瑞 .高等代數(shù)第五版【 M】 .北京：高等教育出版社， 2021. [3]錢吉林 .高等代數(shù)題解精粹【 M】 .北京：中央民族大學(xué)出版社， 2021. [4]徐仲，陸全 .高等代數(shù)考研教案【 M】 .西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社， 2021. Identification and application of the diagonal matrix Abstract:Diagonalization of the matrix is a reflection of an important concept matrix properties, whether for mathematics majors of Higher Algebra and not learn mathematics majors in linear algebra to learn and understand the meaning of it is necessary. This paper mainly studies the diagonalization of matrix problems, summarizes the diagonalization of matrix operations, properties, method, as well as in linear algebra and matrix diagonalization, some knowledge related to the permeability of ordinary differential equations, spatial analytic geometry problems, makes the diagonalization of matrix with understanding and a more profound understanding, which can be more flexible use of knowledge to solve related problems. Keywords: diagonalization of the matrix eigenvalue eigenvector
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