【導(dǎo)讀】含其他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果，也不包含他人或其他教學(xué)機(jī)構(gòu)取得的研究成果。本人了解并遵守衡水學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定。全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文及相關(guān)資料?；虼?，矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中具有重要的作用。文章應(yīng)用矩陣探討遞推數(shù)列的一。般求解方法，對(duì)于線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以通過(guò)矩陣的對(duì)角化形式求出通項(xiàng)公式；全部統(tǒng)一到求二階矩陣的乘方上來(lái)。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象，其中矩陣蘊(yùn)涵的思想非常豐富。矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)。應(yīng)用矩陣的知識(shí)可以使一些難度。大、表述繁瑣的問(wèn)題求解變得簡(jiǎn)捷。數(shù)列的通項(xiàng)公式就很有必要。近幾年來(lái)，遞推數(shù)列一直是各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽考察的重點(diǎn)，求遞推數(shù)列變得越來(lái)越重要，，則求nnxy，的通項(xiàng)。

　　

【正文】 fx, ()gx的分式的復(fù)合，便對(duì)應(yīng)著 n 個(gè)二階矩陣的連乘。特別地， () Ax BfxCx D?? ?的 n 次疊代便對(duì)應(yīng)著： nn ABfCD??????? 對(duì)于分式線性遞推數(shù)列 1011nnnxAAx BxCx D??????? ????,若 121 1 +() Ax Bx f x Cx D?? ?與 ABPCD???????相對(duì)應(yīng)，則： 23 1 1( ( )) ( )x f f x f x??與 2P 相對(duì)應(yīng)，依次類(lèi)推： 1 1()nnx f x?? 與 1nP? 相對(duì) 應(yīng)。于是，若求出了矩陣 P 的乘方： 111 = nnn abPcd??? ??????，則分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)為：1 0 11 0 1+nnn a A bx c A d??? ? ?？梢?jiàn)，求分式線性遞推數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題可歸結(jié)為求矩陣的乘方問(wèn)題。 求矩陣的乘方有以下兩種方法： （ 1） 有些二階矩陣通過(guò)拆成兩個(gè)矩陣之和，發(fā)現(xiàn)拆成的兩個(gè)矩陣的乘方很有規(guī)律，則這類(lèi)二階矩陣的乘方可用二項(xiàng)式展開(kāi)法求得 ，尤其是形如 abPcd???????的二階矩陣，由于 p aE bB??,其中 E 是二階單位矩陣， 1001B ???????,且 kEE? , ()k BKBEK?? ?? 為 奇 數(shù)為 偶 數(shù), 則由二項(xiàng)式定理可得： 1 1 1 1111 1 1 111( ) ( ) ( ) ( )22()( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnn n n na b a b a b a bp a E b Ba b a b a b a b? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???。 因此，形如 1011( , 0 )nnnxaa x bx a b bb x a??????? ? ? ????的分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)相應(yīng)地可由二項(xiàng)式展開(kāi)法求得：韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 15 頁(yè) 共 18 頁(yè) 1 1 1 101 1 1 10( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( )n n n nn n n n na b a b a a b a bxa b a b a a b a b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。 （ 2）對(duì)于矩陣 P ，假若存在可逆矩陣 T ，使得 11200T PT ? ?? ??? ????（為對(duì)角矩陣），則：11111200nnnP T T? ???????? ????，而有些二階矩陣有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，與對(duì)角型矩陣相似，所以可用與求對(duì)角矩陣相似的方法求相應(yīng)分式線性遞推數(shù) 列的通項(xiàng)。 例 6 對(duì)于分式線性遞推數(shù)列 1111412nn nxxxx ??????? ?????,求 nx 的通項(xiàng)公式。解： ? ? 121 141== + 2xx f x x ?對(duì)應(yīng)于二階矩陣 41 312P E B??? ? ??????,其中 1111B ?????????,且 00 , ( 2 ),00nBn????????則? ?? ? ? ?23 1 1==x f f x f x與 2P 相對(duì)應(yīng)，如此類(lèi)推： ? ?1 1nnx f x?? 與 1nP? 相對(duì)應(yīng)。即由二項(xiàng)式定理得： 1 2 21 1 1 22 1 23 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3( 3 ) 3 3 ( 1 ) ( 1 ) 3 3 ( 1 ) 3n n nn n n nn n nnnP E B E n E B nn? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 于是通項(xiàng)公式為 : 1 2 22 1 23 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 2 1( 1 ) 3 3 ( 1 ) 3 5 2n n nn n n nn n nx n n n? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?。 例 7 對(duì)于分式線性遞推數(shù)列 1112,2123nn nxxxx??????? ?????求 nx 的通項(xiàng)公式。 解：由于 2x 對(duì)應(yīng)的二階矩 陣為 : 2123P ?????????,求得特征值為 121, 4,???? 當(dāng) 1=1? ， 2=4? 時(shí)，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 11??????， 12???????, 于是取 1112T ????????,則有： 121331133T ???????????,且 1 1004T PT? ???????。2020 級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文 第 16 共 18 頁(yè) 于是111111111( 2 4 ) ( 1 4 )10 330 4 2 1( 1 4 ) ( 1 2 4 )33nnnnnnP T T????????????????????? ? ? ???。 故數(shù)列的通項(xiàng)為 11 2 1 2 22 1 21111( 2 4 ) 2 ( 1 4 )2 2 53321 5 2 2( 1 4 ) 2 ( 1 2 4 )nn nnn nnnnx?? ?????? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ?。 結(jié)語(yǔ) 矩陣在求線性遞推數(shù)列與分式線性遞推數(shù)列中有著重要的作用，對(duì)于這些通項(xiàng)公式的求法，應(yīng)用矩陣的理論可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，隨著知識(shí)的不斷提高矩陣?yán)碚撛谇筮f推數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用會(huì)越來(lái)越重要，矩陣也會(huì)應(yīng)用的更為廣泛。韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 17 頁(yè) 共 18 頁(yè) 參考文獻(xiàn) [1] 王卿義 . 高等代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 [ M] . 濟(jì)南 : 山東教育出版社 , 1992: 325 326. [2] 王峰 . 求遞推數(shù)列通項(xiàng)的常用策略 [ J] . 高中數(shù)學(xué)教與學(xué) , 2020( 4) : 2325. [3] (日 )伊東元好散判的遞推式．中學(xué)生數(shù)學(xué) [M]， 1986(6)： 1317 [4] 王汝發(fā)等 .高等數(shù)學(xué)解題方法引論 [M].蘭州大學(xué)出版社 .1994 年 [5] 楊亦軍 . 遞歸數(shù)列求通項(xiàng)公式的一般方法 [J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊 1999， (12). [6] 林玲 . 分式線性遞歸關(guān)系的代數(shù)解法 [J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊 1996，（ 2） [7] 彭詠松 .一類(lèi)線性循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)學(xué)通報(bào) [J]， 1986 年第 9 期， P1921. [8] 李信明 .常系數(shù)線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 .昌淮師專(zhuān)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版 [J]， ，總第 21 期 [9] 趙文玲，宋道金 線性循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào) [J]， 1996（ 3） [10] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系 .高等代數(shù) [M].北京：人民教育出版社， 1980. [11] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系 .高等代數(shù)〔 :高等教育出版社 ,1978 [12] 熊斌 .奧數(shù)教程 ( 高一年級(jí) )[M].上海 : 華東師范大學(xué)出版社 ,2020. [13] 王萼芳，石生明 .高等代數(shù)［ M］ ．北京： 高等教育出版社， 2020. [14] Octo go n Math Mag[M] , 2020, 13( 2) : 1171. [15] P. Levrie, M. VanBarel and A. Bultheel, Firstorder linear recurrence systems and general nfractions, in Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation II, A. Cuyt, ed., Kluwer Academic Publishers, 1994, –446 2020 級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文 第 18 頁(yè) 共 18 頁(yè) 致 謝 感謝姜文英老師的悉心指導(dǎo)，本文的選題、課題研究以及論文的撰寫(xiě)工作都是在姜老師的悉心指導(dǎo)下完成的．從姜老師的身上，我不僅學(xué)到了扎實(shí)、寬廣的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，也學(xué)到了做人的道理．在此我要向我的指導(dǎo)老師姜老師表示最衷心的感謝和深深的敬意，以及衷心感謝在百忙之中幫我評(píng)閱論文的各位老師，謝謝您們．