矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用畢業(yè)論文終稿-wenkub.com
2024-10-03 03:46 本頁(yè)面
【正文】 故數(shù)列的通項(xiàng)為 11 2 1 2 22 1 21111( 2 4 ) 2 ( 1 4 )2 2 53321 5 2 2( 1 4 ) 2 ( 1 2 4 )nn nnn nnnnx?? ?????? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ?。即由二項(xiàng)式定理得： 1 2 21 1 1 22 1 23 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3( 3 ) 3 3 ( 1 ) ( 1 ) 3 3 ( 1 ) 3n n nn n n nn n nnnP E B E n E B nn? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 于是通項(xiàng)公式為 : 1 2 22 1 23 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 2 1( 1 ) 3 3 ( 1 ) 3 5 2n n nn n n nn n nx n n n? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?。 因此，形如 1011( , 0 )nnnxaa x bx a b bb x a??????? ? ? ????的分式線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)相應(yīng)地可由二項(xiàng)式展開(kāi)法求得：韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 15 頁(yè) 共 18 頁(yè) 1 1 1 101 1 1 10( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( )n n n nn n n n na b a b a a b a bxa b a b a a b a b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。特別地， () Ax BfxCx D?? ?的 n 次疊代便對(duì)應(yīng)著： nn ABfCD??????? 對(duì)于分式線性遞推數(shù)列 1011nnnxAAx BxCx D??????? ????,若 121 1 +() Ax Bx f x Cx D?? ?與 ABPCD???????相對(duì)應(yīng)，則： 23 1 1( ( )) ( )x f f x f x??與 2P 相對(duì)應(yīng)，依次類推： 1 1()nnx f x?? 與 1nP? 相對(duì) 應(yīng)。所以可對(duì)角化 ,對(duì)應(yīng)于12??、 的特征向量 1 1 2 2( ,1) ( 1TT? ? ? ?、 ， ）取 1212( , ) 11P ???? ????????，則 2111211 1P ????? ??????? ?? 因而 1 1 1 11 2 1 1 2 2 1 010 12 1 2 1 1 2 2 1 0( ) + ( )1= ( ) + ( )n n n nnn nn n n nnxxxA P A Ax xx? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??????? ???? ? ??? ?? 所以1 2 1 1 2 2 1 0121= [ ( ) + ( ) ]n n n nnx x x? ? ? ? ? ??? ??而1nnnxw ca dx?? ? ?，又有20 0 1 0 0= = +x c a d x a c a d c a d??， ， 所以 21 2 0 0 1 2 2 1 01 1 2 + 1 + 11 2 0 0 1 2 2 1 0( ) ( + ) +( ) ( )=+ [ ( ) ( + ) +( ) ( ) ]nnn n n n na c a b c d c a d c a dda c c a c a b c d c a d c a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? 1 2 1 1 2 2 11 1 + 1 + 11 2 1 1 2 2 1( ) ( ) + ( )=+ [ ( ) ( ) + ( ) ]nnn n n nc a ddc c c a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ?? 當(dāng) 2124 =0aa? 時(shí)，若 12==? ? ? ，則非零特征向量 ? ?11,1T??? 即 21( ) =EA? ? ?? 解得 ? ?2= 1,0 T? ，令 12 1( ) = 10P ??? ??? ????，則 1 011P ??????? 所以 111 1 0 1 ( 1 ) =1 0 0 1 ( 1 )n nnnnnnnA ?? ???? ?? ?????? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 又 11 11 0( 1 ) ( 1 )nnnnnnx xnn xx ???? ??????? ???? ???? ?????? ??， 1 10= + (1 )nnnx n x n x??? 又1=+nnnnxw ca dx? 即 20 0 020 0 0( + ) +( 1 ) ( )=+ [ ( 1 ) ( + ) +( 2 ) ( ) ]nn n a c a b c d c a d n c a dda c c n a c a b c d c a d n c a d?? ?? ? ?? ? ? ? ?韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 13 頁(yè) 共 18 頁(yè) 211( ) +( 1 )=+ [ ( 1 ) ( ) +( 2 ) ]n c a d ndc c n c a d n?? ??? ?? 例 5 已知在數(shù)列 ??na 中，11811, 44nn naaa a? ??? ?,求 na 的通項(xiàng) 。 用特征理論求解分式線性遞推數(shù)列 : 1 +nn naa ba ca d? ? ?（ 1,2,3n? ）（其中 , , ,abcd 為常數(shù)，且 0c? 同時(shí) abcd? ） 的通項(xiàng)公式。 引理 1：若 A 是 分式線性函數(shù) ()fx的系數(shù)矩陣，則反函數(shù) 1()fx也是分式線性函數(shù)，且 1A 是它的系數(shù)矩陣。 下面就是應(yīng) 用 矩陣、特征根 等理論 來(lái)解決 這類 分式遞推數(shù)列 的 問(wèn)題，這類方法 會(huì)使其變 得簡(jiǎn)單而有趣。韓立華 :矩陣在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用 第 7 頁(yè) 共 18 頁(yè) 當(dāng) 1 3?? 時(shí)， A 的特征向量為 62?????? 當(dāng) 2 2??? 時(shí)， A 的特征向量為 21??????? 令 6221T ???????? 則 1 1212610T ? ??? ????? 1111 16 2 1 2 1301 2 1 2 6 110 0 ( 2 )nn nT J T B??? ?? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???11 11 1 2 12 3 ( 2 ) 2 6 11 0 1 0 6 3 4 ( 2 )nn nn?? ????? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 21100 213 1 06 2 1 2 512 1 2 6 010 0 ( 2) 1niiniiT J T B???????????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???????11 110 2510 5 3 ( 2)33nn???????? ? ? ? ? ??? 1 1 1 1 1 11 1 0 2 5 1 1 1 1 56 3 4 ( 2 ) 5 3 ( 2 ) ( 2 ) 31 0 3 3 1 5 1 0 6n n n n n nnx ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 利 用矩陣的方法求線性循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè) k 階線性循環(huán)數(shù)列 ??nx ，滿足循環(huán)方程 1 1 2 2 + 1 , 2n n n k n kx a x a x a x n k k? ? ?? ? ? ? ? ?， 其中 1,2,iai?（ ） 為常數(shù) ,且 0ka? .求數(shù)列 ??nx 的通項(xiàng)。 解：由 111=gnnxxa b cy d e f ykrzz???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?，則1111=gnnnnx xa b cy d e f ykr zz??? ????
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