冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-06-17 06:07 本頁(yè)面
【正文】 事實(shí)上例7. ，為階方陣，為冪零矩陣且，則有證明：由引理，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得 又為冪零矩陣 所以的特征值全為0，即又可逆，則，由知為的特征值則 故例8. ，為階方陣，且,證明：存在自然數(shù)，使得證明：由于 故故為冪零矩陣由性質(zhì)知 ，使得，得證。,求。所以有 ,則為冪零矩陣,其冪零指數(shù)為,且的主對(duì)角線上的元素為0.通過(guò)以上冪零矩陣與若爾當(dāng)塊的密切聯(lián)系，可以用它們的關(guān)系來(lái)推得以下這個(gè)推論。 冪零矩陣與若爾當(dāng)塊 每一個(gè)階冪零矩陣都與一個(gè)形如的矩陣相似，每一個(gè)是一個(gè)階冪零若爾當(dāng)塊 階若爾當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為，且有。因?yàn)闉殡A方陣，由引理可知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得 其中階數(shù)為令階數(shù)為則有階數(shù)為那么有，由定義得為冪零矩陣現(xiàn)令 即又為對(duì)角陣， 則上式可對(duì)角化令 ，取，則有即有可對(duì)角化且為冪零矩陣，得證。 階復(fù)矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項(xiàng)式無(wú)重根。注：顯然對(duì)于嚴(yán)格的下三角矩陣也是冪零矩陣。 設(shè)，為階方陣，則 所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似證明：因?yàn)殡A冪零矩陣，其指數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，所以的最小多項(xiàng)式又為冪零矩陣，由性質(zhì)1，的特征值全為0因此的特征多項(xiàng)式所以又因?yàn)閺亩?，故所有階次冪零矩陣具有相同的不變因子為 ，得證。證明： 為冪零矩陣，由性質(zhì)1，知：的特征值全為0 即則的特征值為從而有 由已知， （1）令為的不為0的特征值且互不相同重?cái)?shù)為由（1）式得方程組 （2）由于方程組（）的系數(shù)行列式為又互不相同且不為0， 從而知，方程（2）只有0解，即 即沒(méi)有非零的特征值的特征值全為0， 由性質(zhì)1，得為冪零矩陣，得證。若為的任一特征值，為相應(yīng)的特征向量，則，則有，故：由于的特征值全是0，所以的特征多項(xiàng)式由哈密頓凱萊定理得由冪零矩陣的定義，是冪零矩陣。3. 冪零矩陣的性質(zhì)我們?cè)诮o出有關(guān)冪零矩陣的定義和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上以及根據(jù)以下引理,同時(shí)參考多篇文獻(xiàn)，進(jìn)一步探討冪零矩陣,并進(jìn)行歸納和推理，得到一些更深一層的性質(zhì)。證明：設(shè),于是，所以是冪零矩陣 設(shè)是階冪零矩陣，則，均為冪零矩陣。 關(guān)于冪零矩陣的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)由上述所描述的有關(guān)冪零矩陣的定義，可以得出一些冪零矩陣的幾條簡(jiǎn)單性質(zhì)。滿足的的值稱(chēng)為矩陣的特征值。 ，滿足的最小正整數(shù)稱(chēng)為的冪零指數(shù)。然后再通過(guò)教材知識(shí)和文摘的借鑒，進(jìn)一步歸納總結(jié)冪零矩陣的一些性質(zhì)，有其自身所特有的特征，同時(shí)與若當(dāng)兒標(biāo)準(zhǔn)形，對(duì)角形等方面的聯(lián)系，還有其性質(zhì)的多方面具體應(yīng)用，更加的體現(xiàn) 了冪零矩陣的優(yōu)越性。諸如數(shù)值
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