冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-07-21 06:07:05 本頁(yè)面
【正文】 故所有階次冪零矩陣具有相同的不變因子為 ，得證。 相似于對(duì)角形的冪零矩陣是零矩陣證明：設(shè)為冪零矩陣，則,使得，又設(shè)與對(duì)角形相似，且令 易知，則存在可逆矩陣,使，又與相似，則有，則，因此，所以。 若為階嚴(yán)格上三角矩陣，則是冪零矩陣。證明：因?yàn)闉殡A嚴(yán)格上三角矩陣，故令,則顯然有,進(jìn)而有所以存在，使。注：顯然對(duì)于嚴(yán)格的下三角矩陣也是冪零矩陣。證明類(lèi)似如上 冪零矩陣的運(yùn)算性質(zhì)（在矩陣中存在一些運(yùn)算性質(zhì)，冪零矩陣也不例外，而且這些運(yùn)算性質(zhì)在應(yīng)用中也起到很重要的結(jié)論，其運(yùn)算性質(zhì)如下） 若為冪零矩陣且，則有（1）（2）證明：（1） 即 （2）由（1）類(lèi)似可得 任意，則 冪零矩陣與對(duì)角矩陣 設(shè)是階冪零矩陣，則必存在可逆矩陣，使得，其中階數(shù)為且，為的特征值（可能有相同），稱這樣的為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式。每一個(gè)階的復(fù)矩陣都與一若當(dāng)形矩陣相似。 設(shè)為的最小多項(xiàng)式，則整除的任何化零多項(xiàng)式。 階復(fù)矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項(xiàng)式無(wú)重根。 階若爾當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為，且有。顯然當(dāng)時(shí)即為所定義的冪零矩陣。 非零的冪零矩陣不能對(duì)角化但對(duì)于任意的方陣，存在冪零矩陣，使得可以對(duì)角化證明：因?yàn)闉閮缌憔仃?，則存在正整數(shù)，使得且的特征值全為0，為的特征多項(xiàng)式且，令為的最小多項(xiàng)式，由引理則有，從而有，由于所以，則此時(shí)，由引理，顯然的最小多項(xiàng)式有重根，那么不可對(duì)角化。因?yàn)闉殡A方陣，由引理可知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得 其中階數(shù)為令階數(shù)為則有階數(shù)為那么有，由定義得為冪零矩陣現(xiàn)令 即又為對(duì)角陣， 則上式可對(duì)角化令 ，取，則有即有可對(duì)角化且為冪零矩陣，得證。 設(shè)為冪零矩陣，且，那么與對(duì)角矩陣不相似。證明：用反證法，設(shè)與對(duì)角矩陣相似，那么一定存在可逆矩陣,使得,這樣的對(duì)角線上的元素就是的特征值，又的特征值全為0，從而 因此,與題設(shè)矛盾。與對(duì)角矩陣不相似。 冪零矩陣與若爾當(dāng)塊 每一個(gè)階冪零矩陣都與一個(gè)形如的矩陣相似，每一個(gè)是一個(gè)階冪零若爾當(dāng)塊 階若爾當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為，且有。顯然當(dāng)時(shí)即為所定義的冪零矩陣。 若為冪零矩陣,則的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若爾當(dāng)塊為冪零若爾當(dāng)塊,且的主對(duì)角線上的元素為0.證明：為冪零矩陣,可知的特征值全為0。在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣,使得其中 階數(shù)為,則為的特征值；又與相似,所以與有相同的特征值,所以,即的主對(duì)角線上的元素全為0。所以有 ,則為
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