【正文】 概率論的理論做為 基本理論，在此對 中心極限定理 進行證明，進一步完備了 觀測誤差理論 （其中含有 最小二乘法 ）。首次把概率論的應該擴張到社會生活方面，最典型的例子就是概率論在人口統計上的應用，拉普拉斯所做的貢獻是他在繼承前人理論知識的基礎上又進行了一次偉大的創(chuàng)新。 [9] 在 19 世紀 50 念叨 ，人口統計 空前發(fā)展出現了許多與人口統計相關的研究，如人的保險，醫(yī)療等，在經濟上統計學也被用于農業(yè)，工業(yè)的分析。統計學進一步得到了發(fā)展 ，在這個時期凱特萊出現了，他對統計學的推動可謂是巨大的。 4． 1“近代統計學之父” — 凱特萊 比利時人口學家、數學家、 天文學家，人口統計 家 。 他用大量的概率論中的原理用于對自然和社會現象的測量，然后統計大量數據， 總是表現出統計的大數定律 ，這些數據所反映出來的一些規(guī)律可以提現一些事物的變化，甚至能預測未來事件發(fā)生的可能性。 在他的理論中 ， 人的 出生、 成長 和死亡是有一定規(guī)律 可循 的，就是揭示這些規(guī)律。他 覺得人口動波動的原因有 自然 的原因以及 擾亂 的原因。自然原因可以從性別、年齡、季節(jié)等方面進行分析，擾亂原因可以從從社會、經濟、政治與道德背景進行分析。在此分析的結果上，他又以 恒常原因、可 變原因和偶然原因對人口統計進行分析。由此提出了“平均 人”學的說法 ， 他認為在社會上的人概況起來都有一個平均值 ， 每個人都按照平均值上下波動 。這個平均人 在現實中是非常典型的例子 。根據這 個 典型 的例子 ， 我們能看到 地球上人口狀態(tài)的共同形式，一 所有 社會所特有的形象都在這種平均人中巧妙地、曲折地反映出來。 凱特萊 根據人口統計資料研究了嬰兒性別比、婦女生育率、分年齡死亡率等等。由于他首創(chuàng)地在人口統計中使用到了概率論的知識，用數學知識理論研究人口問題，使得人口調查和人口統計有了新的發(fā)展。 西方統計學界根據他在建立數理統計學方面 所做的貢獻，稱他為“近代統計學之父”，他對正態(tài)分布的見解 非常的獨特。 [10] 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 10 4． 2 凱特萊對正態(tài)曲線的拓展 18 世紀的統計數據分析問題主要是二項分布，狄莫弗引入的正態(tài)分布并沒有別當時所注意 ；到了 19 世紀初， 由于 拉普拉斯 的 中心極限定理 ， 高斯 的 正態(tài)誤差理論，正態(tài)分布 逐步有了它發(fā)回的機會，但是真正把正態(tài)分布拓展出去的是 凱特萊 ，他把正態(tài)分布應用到天文，地理，物理，數學，生物，社會等各個領域，凱特萊把 正態(tài)曲線 推廣到 誤差理論應用到新的領域 和他所提出的 “平均人”的概念 中 。 1826 年， 凱特萊成為比利時國家統計局的地區(qū)通信員 ，他的工作大多與統計相關。他的做法是通過某一個地區(qū) 的人口調查分析來對全國人口進行估計。這遭到了一些社會學家的反對，他們認為影響人口的因數非常多，如環(huán)境的好壞，文化程度，工作，飲食等等，在這些因數影響下的數據進行分析非常的不合理，得到的結果也不準確， 凱特萊 用了一個大膽的方法，在一批數據中， 用這些數據是否服從正態(tài)分布作為這些數據是否是同一性質的標準 ，最后他通過實驗驗證了這樣方法。 [11]后 來 ，他 把這一方法進行延生， 引入了正態(tài)曲線，把正態(tài)分布從觀測誤 。 差推廣到各種來源的數據，為在社會科學與人文學中使用統計方法邁出了決定性的一步。 1835 年， 凱特萊 首次提出來 “ 平均人 的概念，他把誤差法則、正態(tài)分布的 理論 引入到人事研究中去 。 凱特萊 通過他的努力使統計學得到各個領域的關注，使理論的完善和新理論的誕生有著不可磨滅的作用。 4． 3 高爾頓對正態(tài)分布的創(chuàng)新 高爾頓本來是學醫(yī)的，后來進入了劍橋大學學習，接觸到了統計學方面的知識，他的家庭可以說是書香門第，父親也是研究統計學方面的， 祖父、叔祖父都是英國皇家學會會員 ，可能是從小受到家庭的影響，他對學術研究有著非常濃厚的興趣。他是 凱特萊 的接班人，受凱特萊影響非常大，在 凱特萊 之后他致力于研究正態(tài)分布。 高爾頓相信正態(tài)分布適用于自然，社 會中的所有問題，在所有問題中，它都有它的適用性。他創(chuàng)造性地在生物學角度方面用到了正態(tài)分布，他發(fā)現兩代人遺傳方面符合正態(tài)曲線，總朝著一平均數發(fā)展。 高爾頓 原來是學醫(yī)的，所以他從生物學的角度來分析正態(tài)分布，他在親子兩代的身高問題的研究中發(fā)現，親子兩代的身高服從正態(tài)分布， 對此它產生了兩點思考： l、 在中心極東海科學技術學院畢業(yè)論文 11 限定理中，正態(tài)分布的形成有許許多多的原因，而整個曲線的形成是有這些原因共同結果而成，這樣的話遺傳問題如何解釋？ 我們都知道 身高 是遺傳的，一般來說會把優(yōu)勢遺傳，由此形成的結果是兩級分化嚴重，但是第二代， 通過數據的分析還是與正態(tài)分布想符合，這有如何解釋？ [12] 高爾頓 做了一個名為 “正態(tài)漏斗” 的實驗，他得到的結果是雖然遺傳是一個大的因數，可以認為這個大的因數室友許許多多的小因數組成的 。高爾頓 通過這個實驗發(fā)現，雖然在表面上表現為同一性質，也可能有許多不同性質成分的存在，這就是正態(tài)分布為什么能在各個方面有應用的原因。高爾頓又做了一個 — 豌豆試驗， 他 發(fā)現： 只要種子的大小是相同的，這些種子所產出的果實依舊符合正態(tài)分布，子代各個數據的平均值和母代有一定的聯系，并且非常地接近母代的平均值，基本上與一般平均值相符合，這個實 驗基本回答了高爾頓第二點的疑惑。 [13] 由于 凱特萊和 高爾頓 的創(chuàng)新和應用中 ，使我們看到了正態(tài)曲線那無與倫比的身姿正慢慢地浮現在我們眼前，在 19 世紀中到 19 世紀末的發(fā)張過程中，正態(tài)分布使概率論的數學計算的實現提供的可能。 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 12 5. 現代統計學中的正態(tài)分布 從 19 世紀期 起，以契比雪夫、馬爾可夫 等為代表的俄羅斯學派， 通過引入隨機變量 的概念，建立了隨機變量的 獨立非獨立的標準，以及收斂到正態(tài)分布的充要 條件，從而 在 大數定律和中心極限定理上 實現了數學的嚴謹性 。此后這項工作隨概率論一起， 在 后人近一步 的發(fā)展 ，概率論才真正成為一門演繹的數學 理論 ，為數理統計學的形成奠定了堅實的理論基礎。 在 現代統計 學的時代中 ， 在 威爾頓 ， 埃其沃斯等人 的引導下 正態(tài)分布 有了進一步的完善挖掘。邁入到了 20 世紀，一場 小樣本理論的革命 正在悄悄醞釀中 ， 通過哥塞特，費歇爾等人的努力， 正態(tài)分布在 現代 統計學中的地位 得到了進一步的鞏固 ， 人們普遍運用的 正態(tài)分布擬合數據 方法依舊是正態(tài)分布應用的主流 ； 與正態(tài)分布 相關 的 回歸分析、方差分析、等統計學中 方法， 慢慢地形成，并且都成為非常重要的統計方法 ， 加速了 現代統計學 蓬勃發(fā)展。 [14] 在古典統計時期 ，統計學 一般都是用 拉普拉斯中心極限定理 ，對人們通過自然采集的數據進行處理。到了 20 世紀后，統計學家們在人工實驗中獲得的數據越來越精確，由統計分析得到的結論也別人所承認 。 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 13 在現實生活中， 當我們對數據用 統計 的方法來 分析 時間時 ，當我們需要了解某個數據在整體的分布，如果整個數據的分布是符合正態(tài)曲線的，此時我們能比較簡便的通過正態(tài)分布來計算，運用一步正態(tài)分布于標準正態(tài)分布之間的轉化然后查表。 學校 在一次體檢中檢測了 300 名高一女生的身高，測得的平均升高為 159..23cm，通過計算其標準差為 ,如何來 估計身高在 ~ 的高一女生的比例及人數？由于人的 身 高我們可以認為它是一個正態(tài)分布，它符合正態(tài)分布曲線，所以我們可以通過正態(tài)分布公式來解決這一問題。 設均值 ? =, 2? =,變量為 x P{x155}=p{ ? 155 ? }= 155 ???????? = ? ?1?? =1 ??1? == P{x160}=P{ ? 160 ? }= 160 ???????? = ? ?? = 則 P{x160} P{x155}=， 300*=186 人 既 身高在 ~ 的高一女生的比例約為 %，人數約為 186 人 學生的成績一直是社會普遍關心的問題，由此帶來的教育方面的統計學的發(fā)展，根據對大量學生 的統計結果的分析，學生的智力水平，學習創(chuàng)新能力，接受新鮮事物等情況均 符合正態(tài)曲線。當然學生的成績的分布更是正態(tài)分布的典型，一般來說學生的考試成績都是在某一個分數附近比較集中，高分和低分相對人數少一點，這樣的情況比較正常。如果曲線比較平或 者比較偏某一邊，明顯 的不對稱，那這次考試的情況可能就顯示不正常 。 東?？茖W技術學院畢業(yè)論文 14 下面兩個表示信息 1,2 班的數理統計與概率論的成績表 表 61 信息（ 1）班概率論與數理統計成績表 學號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成績 53 75 92 77 67 60 75 44 65 67 學號 11