【正文】 在正態(tài)分布中我們體會(huì)到了要用整體的眼光看待問(wèn)題，整個(gè)曲線是一個(gè)整體，用整體的眼光才能看到事物的的本質(zhì)，才能得到結(jié)論，若值看到一部分就可能以偏概全。 在實(shí)際使用正常值的時(shí)候贏注意 1. 如果某人的某項(xiàng)指標(biāo)不在正常值的范圍內(nèi)，他不一定是 病人。 如若某次考試的均值 ? 很小，得低分的學(xué)生特別多，的高分的學(xué)生特別少，那么可以認(rèn)為此次考試的試題比較偏難，學(xué)生答題的情況不好。 設(shè)均值 ? =, 2? =,變量為 x P{x155}=p{ ? 155 ? }= 155 ???????? = ? ?1?? =1 ??1? == P{x160}=P{ ? 160 ? }= 160 ???????? = ? ?? = 則 P{x160} P{x155}=， 300*=186 人 既 身高在 ~ 的高一女生的比例約為 %，人數(shù)約為 186 人 學(xué)生的成績(jī)一直是社會(huì)普遍關(guān)心的問(wèn)題，由此帶來(lái)的教育方面的統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展，根據(jù)對(duì)大量學(xué)生 的統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析，學(xué)生的智力水平，學(xué)習(xí)創(chuàng)新能力，接受新鮮事物等情況均 符合正態(tài)曲線。 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 12 5. 現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的正態(tài)分布 從 19 世紀(jì)期 起，以契比雪夫、馬爾可夫 等為代表的俄羅斯學(xué)派， 通過(guò)引入隨機(jī)變量 的概念，建立了隨機(jī)變量的 獨(dú)立非獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)，以及收斂到正態(tài)分布的充要 條件，從而 在 大數(shù)定律和中心極限定理上 實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性 。 4． 3 高爾頓對(duì)正態(tài)分布的創(chuàng)新 高爾頓本來(lái)是學(xué)醫(yī)的，后來(lái)進(jìn)入了劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，接觸到了統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的知識(shí)，他的家庭可以說(shuō)是書(shū)香門第，父親也是研究統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的， 祖父、叔祖父都是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員 ，可能是從小受到家庭的影響，他對(duì)學(xué)術(shù)研究有著非常濃厚的興趣。 [10] 東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 10 4． 2 凱特萊對(duì)正態(tài)曲線的拓展 18 世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析問(wèn)題主要是二項(xiàng)分布，狄莫弗引入的正態(tài)分布并沒(méi)有別當(dāng)時(shí)所注意 ；到了 19 世紀(jì)初， 由于 拉普拉斯 的 中心極限定理 ， 高斯 的 正態(tài)誤差理論，正態(tài)分布 逐步有了它發(fā)回的機(jī)會(huì)，但是真正把正態(tài)分布拓展出去的是 凱特萊 ，他把正態(tài)分布應(yīng)用到天文，地理，物理，數(shù)學(xué)，生物，社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域，凱特萊把 正態(tài)曲線 推廣到 誤差理論應(yīng)用到新的領(lǐng)域 和他所提出的 “平均人”的概念 中 。自然原因可以從性別、年齡、季節(jié)等方面進(jìn)行分析，擾亂原因可以從從社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治與道德背景進(jìn)行分析。拉普拉斯首次提出了 概率的古典定義， 他把一些概率論的理論做為 基本理論，在此對(duì) 中心極限定理 進(jìn)行證明，進(jìn)一步完備了 觀測(cè)誤差理論 （其中含有 最小二乘法 ）。 原因有 ： 整體的誤差是由一些相互獨(dú)立的 相同量階 他們的聯(lián)合形成的 ， 如果用 算術(shù)平 均假設(shè) 和 最小二乘法 計(jì)算這個(gè)概率結(jié)果是一樣的。 這 理論 對(duì)于給正態(tài)誤差論一個(gè) 非常合理 、 非東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 8 常令人相信的解釋有巨大的 意義。在概率論史上，拉普拉斯被認(rèn)為是古典概率論的集大成者，他運(yùn)用許多的分析方法，把概率論的基本理論統(tǒng)統(tǒng)做了系統(tǒng)性整理， 把概率論變成了一門系統(tǒng)的學(xué)科，為概率論的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。在 這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線 ， 正態(tài)誤差理論 正式被提出 ， 在 70 年后 狄莫弗 推導(dǎo)出來(lái)的式子進(jìn)入了概率的家庭中 。 [4] 在進(jìn)行對(duì)天體觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了許多正態(tài)分布的特征，認(rèn)為在觀測(cè)中引起的誤差與在計(jì)算中 引起的誤差是不一樣的，小的觀測(cè)值變化同意可以是距離值有很大的變化。 東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 6 布的重新出發(fā) 人們對(duì)事物的檢測(cè)，無(wú)可避免或多或少總會(huì)出現(xiàn)一些誤差，不管是檢測(cè)哪方面的，人們很早就知道了這一點(diǎn)，不過(guò)對(duì)檢測(cè)結(jié)果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。在 1711 發(fā)表了關(guān)于概率論研究的論文，在 1733 年， 一個(gè)賭博問(wèn)題刺激著 狄莫弗 A,B 在賭場(chǎng)里賭 錢 ， A， B 贏 概率是 p, B 贏的概率是 q=1p,賭 n 次 ， 假如 A 贏的 次 數(shù) X np, 就 A 給賭場(chǎng) Xnp 元， 不然 B 給賭場(chǎng) npX 元。 2． 1 古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論 概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)是一對(duì) 兄弟 學(xué)科， 兩門學(xué)科一同形成完善 ， 共同創(chuàng)新并影響著，你中有我，我中有你 。在求學(xué)期間 狄莫弗 對(duì)數(shù)學(xué)有了極大的興趣，在《論賭博中的機(jī)會(huì)》《幾何原本》等一些著作的影響下，他開(kāi)始奮發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。 正態(tài)分布的密度函數(shù) 是對(duì)稱函數(shù)，他的對(duì)稱軸為 ? ，在 ? 上去的整個(gè)函數(shù)的最大值，在正負(fù)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處為 0，當(dāng)曲線與橫軸不相交，圖像形狀為中間高兩邊低，從最高點(diǎn) 向 兩邊均勻下降。第三階段 19 世紀(jì)中葉在凱特萊， 高爾頓 的努力下，使正態(tài)分布進(jìn)入到自然和科學(xué)領(lǐng)域 ，從此進(jìn)入了統(tǒng)計(jì)學(xué)的大家庭。東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 I 正態(tài)分布的發(fā)展 及應(yīng)用 摘 要 生活中諸多的經(jīng)驗(yàn)和理論都表明，我們所處的環(huán)境中服從正態(tài)分布的事件是極其常見(jiàn)的。 最后本文總結(jié)了現(xiàn)階段正態(tài)分布的一些最基本最實(shí)用的應(yīng)用。 在正態(tài)分布的 面積 中，曲線與橫軸上的面積表示該區(qū)占總數(shù)的比例或者是某一事件發(fā)生的概率，各個(gè)范圍均可用正態(tài)公式計(jì)算。他在 19 歲那年，他為了保護(hù)卡爾文教徒的南特茲赦令不被廢除而遭監(jiān)禁，做了兩年牢。概率論 發(fā)源于 賭博 活動(dòng)中 ， 概率論的發(fā)展推動(dòng)者統(tǒng)計(jì) 學(xué)的進(jìn)步 ，而統(tǒng)計(jì) 學(xué)的進(jìn)步尤為概率論的世紀(jì)應(yīng)用找到了方向。 求 賭場(chǎng) 能獲得理論 的期望 ？ 最后求得的結(jié)果 期望值是 棣莫弗 用公式得到了當(dāng) p=1/2 時(shí) 這是 狄莫弗 由賭博問(wèn)題 計(jì)算出來(lái)的式子 ， 在 概率論應(yīng)用及統(tǒng)計(jì)學(xué)中 有著非常崇高的地位。到了 18 世紀(jì)，數(shù)學(xué) 有了一個(gè)變化，人們研究數(shù)學(xué)是為了解決生活中的問(wèn)題 。偉大的天文學(xué)家伽利略是第一個(gè)在作品中提出觀測(cè)誤差這個(gè)概念的，由于那時(shí)的概率論的知識(shí)有限，沒(méi)能很好的解決這個(gè)問(wèn)題。 這一 函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 在概率計(jì)算中 被 大量使用 。他繼承 17 世紀(jì)伯努利對(duì)概率論的成果，把概率論應(yīng)用到當(dāng) 天文地理、人口統(tǒng)計(jì)、賭博輸贏、人壽保險(xiǎn)、法庭判決等各個(gè)領(lǐng)域中去。因?yàn)?，高?從算術(shù)平均的 優(yōu)良 性出發(fā) 的，推 導(dǎo)出誤差肯定服從正態(tài)分布；反之 ， 又 由 誤差服從正態(tài)分布得出 算術(shù)平均 和 最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性 。 [7]貝塞爾 提出的 基本誤差 假設(shè) 是關(guān)于有限矩的對(duì)稱分布的隨機(jī)變量， 由此得出的 有限矩的對(duì)稱分布 的和的分布的漸近展開(kāi)。首次把概率論的應(yīng)該擴(kuò)張到社會(huì)生活方面，最典型的例子就是概率論在人口統(tǒng)計(jì)上的應(yīng)用，拉普拉斯所做的貢獻(xiàn)是他在繼承前人理論知識(shí)的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了一次偉大的創(chuàng)新。在此分析的結(jié)果上，他又以 恒常原因、可 變?cè)蚝团既辉驅(qū)θ丝诮y(tǒng)計(jì)進(jìn)行分析。 1826 年， 凱特萊成為比利時(shí)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的地區(qū)通信員 ，他的工作大多與統(tǒng)計(jì)相關(guān)。他是 凱特萊 的接班人，受凱特萊影響非常大，在 凱特萊 之后他致力于研究正態(tài)分布。此后這項(xiàng)工作隨概率論一起， 在 后人近一步 的發(fā)展 ，概率論才真正成為一門演繹的數(shù)學(xué) 理論 ，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。當(dāng)然學(xué)生的成績(jī)的分布更是正態(tài)分布的典型，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生的考試成績(jī)都是在某一個(gè)分?jǐn)?shù)附近比較集中，高分和低分相對(duì)人數(shù)少一點(diǎn)，這樣的情況比較正常。如若某次考試的均值很 ? 大， 90 多分，那么可能這次考試的題目較簡(jiǎn)單，同學(xué)答的都很好或者教師的教授水平很高。 2. 要對(duì)正常值范圍和可信區(qū)間區(qū)別。同時(shí)正態(tài)曲線非常清楚地展示了重點(diǎn)，它的中間部分占了大量的面積，使我們懂得在日常生活中一定要抓住重點(diǎn)解決問(wèn)題。我們看到了現(xiàn)在正態(tài)分布在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。百分位數(shù)法：適用于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)或類型不明確的資料。所以今后在分析學(xué)生成績(jī)時(shí)只要把學(xué)生成績(jī)制成圖東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 17 就可以分析出成績(jī)的特點(diǎn)， 不但可以分析出班級(jí)在某次考試中的情況，也可以對(duì)不同班級(jí)進(jìn)行比較分析， 進(jìn)而對(duì)教師的教學(xué)有更好的幫助。 學(xué)校 在一次體檢中檢測(cè)了 300 名高一女生的身高，測(cè)得的平均升高為 159..23cm，通過(guò)計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差為 ,如何來(lái) 估計(jì)身高在 ~ 的高一女生的比例及人數(shù)？由于人的 身 高我們可以認(rèn)為它是一個(gè)正態(tài)分布，它符合正態(tài)分布曲線，所以我們可以通過(guò)正態(tài)分布公式來(lái)解決這一問(wèn)題。 [13] 由于 凱特萊和 高爾頓 的創(chuàng)新和應(yīng)用中 ，使我們看到了正態(tài)曲線那無(wú)與倫比的身姿正慢慢地浮現(xiàn)在我們眼前，在 19 世紀(jì)中到 19 世紀(jì)末的發(fā)張過(guò)程中，正態(tài)分布使概率論的數(shù)學(xué)計(jì)算的實(shí)現(xiàn)提供的可能。 凱特萊 通過(guò)他的努力使統(tǒng)計(jì)學(xué)得到各個(gè)領(lǐng)域的關(guān)注，使理論的完善和新理論的誕生有著不可磨滅的作用。 西方統(tǒng)計(jì)學(xué)界根據(jù)他在建立數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方面 所做的貢獻(xiàn)，稱他為“近代統(tǒng)計(jì)學(xué)之父”，他對(duì)正態(tài)分布的見(jiàn)解 非常的獨(dú)特。他 覺(jué)得人口動(dòng)波動(dòng)