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冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)

2025-06-23 06:07本頁(yè)面
  

【正文】 參考文獻(xiàn)[1] 張禾瑞、郝鈵新.高等代數(shù)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.[2] 藍(lán)以中.高等代數(shù)教程 [M].北京:北京大學(xué)出版社,1988.[3] 北大數(shù)力系.高等代數(shù) [M].北京:人民教育出版社,1977.[4] 楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解(下冊(cè))[M].濟(jì)南:山東科技出版社,1982:836866.[5] 韓道蘭、羅雁、黃宗文.冪零矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,24(4):1718.[6] 姜海勤. 冪零矩陣性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用[J].泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2004, 4(1):5457.[7] 谷國(guó)梁. 關(guān)于冪零矩陣性質(zhì)的探討[J].銅陵財(cái)經(jīng)??茖W(xué)校學(xué)報(bào),2001,(4):4963.[8] 楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解(下冊(cè))[M].濟(jì)南:山東科技出版社,1982:836866.21。事實(shí)上例6. 解:由,易知,從而,故為冪零矩陣。解:由引理,其中 且有 由性質(zhì)知, ,求解:令,其中 ,且,由性質(zhì)知例4. ,求解: 其中,且由性質(zhì)知 學(xué)習(xí)了上面給出的有關(guān)冪零矩陣的性質(zhì)等,我們要判斷一個(gè)矩陣是否為冪零矩陣也是十分的方便。:在復(fù)數(shù)域上每一個(gè)階矩陣都可以表示成一個(gè)可對(duì)角化的矩陣與一個(gè)冪零矩陣的和。 階冪零矩陣的冪零指數(shù)小于等于,且冪零指數(shù)等于其若爾當(dāng)形矩陣中階數(shù)最高的若爾當(dāng)塊的階數(shù).證明:令為冪零矩陣,存在可逆矩陣,使得,其中 階數(shù)為,且,取,則且有 (1)即若為的冪零指數(shù),則,若,則,且由(1)式可得這與矛盾,故,得證。在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣,使得其中 階數(shù)為,則為的特征值;又與相似,所以與有相同的特征值,所以,即的主對(duì)角線上的元素全為0。顯然當(dāng)時(shí)即為所定義的冪零矩陣。與對(duì)角矩陣不相似。 設(shè)為冪零矩陣,且,那么與對(duì)角矩陣不相似。 非零的冪零矩陣不能對(duì)角化但對(duì)于任意的方陣,存在冪零矩陣,使得可以對(duì)角化證明:因?yàn)闉閮缌憔仃?,則存在正整數(shù),使得且的特征值全為0,為的特征多項(xiàng)式且,令為的最小多項(xiàng)式,由引理則有,從而有,由于所以,則此時(shí),由引理,顯然的最小多項(xiàng)式有重根,那么不可對(duì)角化。 階若爾當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為,且有。 設(shè)為的最小多項(xiàng)式,則整除的任何化零多項(xiàng)式。證明類似如上 冪零矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(在矩陣中存在一些運(yùn)算性質(zhì),冪零矩陣也不例外,而且這些運(yùn)算性質(zhì)在應(yīng)用中也起到很重要的結(jié)論,其運(yùn)算性質(zhì)如下
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