論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用(參考版)
2025-01-16 18:17本頁(yè)面
【正文】 這四年中還得到眾多老師的關(guān)心支持和幫助。同時(shí)，在我不會(huì)的問題方面給予了很多幫助，并且反復(fù)為我修改。盡管如此，本文所介紹的冪零矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用是非常有限的，冪零矩陣還有很多性質(zhì)等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。在第三章，重點(diǎn)列舉和證明了冪零矩陣的一些性質(zhì)，如冪零矩陣作為一類特殊的矩陣，自身所具有的一些特殊的性質(zhì)；矩陣是冪零矩陣的充分必要條件說明了什么樣的矩陣是冪零矩陣，如何判斷一個(gè)矩陣是冪零矩陣；同時(shí)，還介紹了冪零矩陣和若爾當(dāng)塊的關(guān)系，把若爾當(dāng)塊的理論應(yīng)用的冪零矩陣中；一個(gè)冪零矩陣就是一個(gè)冪零線性變換，還有一些其他性質(zhì)。結(jié)論：本文的研究是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)之上的，在本文第一章，我們首先介紹了冪零矩陣的一些知識(shí)，對(duì)冪零矩陣有了一個(gè)基本了解。例 ，C為階方陣，且，證明：存在正整數(shù)，使得。 又與相似知，可對(duì)角化。 證明：由性質(zhì)9知, 存在冪零矩陣，使得可對(duì)角化， 即存在可逆，使得 即有。例 ，為冪零矩陣，且，則有。同理可證，與相似。證明：設(shè)V是數(shù)域F上的維線性空間，是V的一組基，有線性變換， ，知，有，使，但，可得到線性無(wú)關(guān)，可作為V的一組基。解：令，其中 由性質(zhì)14得 例 ，求。解： 其中 且有 由性質(zhì)14知， ，求 。由引理4知，的特征值分別為，且有即。證明：因?yàn)闉閮缌憔仃?，所以存在使得，從而，一定不可逆。，則有證明：因?yàn)?，所?即又即 對(duì)任意，有 即有 。令 ，即 又為對(duì)角陣，由式知可對(duì)角化。 因?yàn)闉殡A方陣，由引理5，知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得其中。由于，所以又此時(shí)。證明：為冪零矩陣，存在使得且的特征值全為，為的特征多項(xiàng)式且。 即為非退化。證明：，,至少存在為的特征值,又由引理4得, 為的一特征值。所以線性無(wú)關(guān)。，且是的冪零指數(shù)，則線性無(wú)關(guān)。 冪零矩陣的其他性質(zhì)。由引理5知，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得其中階數(shù)為，由引理6知，為和特征值，又與相似，由引理2知與有相同的特征值，所以。 ，則的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)塊為冪零若當(dāng)塊，且和主對(duì)角線上的元素為。若，則 且，由式，得這與矛盾。證明：令為階冪零矩陣，由引理5知，存在可逆矩陣 ，使得其中階數(shù)為．且 取，則且有 即。從而對(duì)于任何正整數(shù)，的特征值也全為，有（充分性）令的特征值為，則的特征值為，則假設(shè)有不為的特征值，設(shè)為其中的互異的特征值，為相應(yīng)的重?cái)?shù)，有，；將上式視為關(guān)于變量的其次線性方程組，由于
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