伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用(參考版)
2025-06-27 19:25本頁(yè)面
【正文】 eigenvalue。伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用摘要 矩陣是學(xué)習(xí)高等代數(shù)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)矩陣、在以后的學(xué)習(xí)中遇到關(guān)于伴隨矩陣的問(wèn)題我們可以直接應(yīng)用這些性質(zhì)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞 矩陣 伴隨矩陣 特征值 引言 因?yàn)榘殡S矩陣是學(xué)習(xí)矩陣的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)，、伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣的特征值、幾個(gè)特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)，. 本文出現(xiàn)的矩陣和均為階方陣. ,在求解與的乘積，：當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，也為可逆矩陣，由可得；當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，由可得 ；例已知為一三階矩陣，且，求.解 經(jīng)計(jì)算可得，所以.例已知為一三階可逆矩陣，它的伴隨矩陣為，且，求.解 .例已知和均為階矩陣，相應(yīng)的伴隨矩陣分別為和，分塊矩陣，求的伴隨矩陣.解 由得， . 當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，有 證明 因?yàn)?，；又因?yàn)閺亩?，因，故, 所以 .例已知為一三階可逆矩陣，且，求伴隨矩陣的逆矩陣.㈠解 因?yàn)?，且為可逆矩陣，可? ，而=8，,所以.㈡本題用性質(zhì)6可直接得，可見(jiàn)簡(jiǎn)單之處. （為常數(shù)）證明 因?yàn)? = 所以的階子式中每一個(gè)元素都是中的相對(duì)應(yīng)元素的倍，從每一行中提取公因子，從而矩陣中每一元素的階代數(shù)余子式就是. 所以 ==故證之.例設(shè)為一個(gè)3階矩陣，且已知，求.解 因?yàn)椋? . 伴隨矩陣的秩的性質(zhì) 設(shè)是階矩陣,則 秩證明 當(dāng)秩時(shí) ，由于，兩邊同時(shí)取行列式，得 所以 故秩. 當(dāng)秩，由 從而可知的每一列都是方程組的解向量,故由此可得， 又因?yàn)? 至少有一個(gè)階子式不為零，故至少有一個(gè)元素不為零， 所以 此時(shí)秩.當(dāng)秩時(shí)，矩陣，所以 秩.性質(zhì)4在解關(guān)于矩陣的題目中用的很廣泛，以下的性質(zhì)16的證明過(guò)程中都有用到性質(zhì)
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