【正文】 證明 記 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3m i n , ,t t t t? ? ? ?? ， 則對(duì)于 0t?? ， ??tt? ? ， ? ?lim nn t??? ???都 25 成立 。 證明 ， 已知 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?0 0 0 1, , ,1 1 1m m mnnx x x x x xF t F k t F k k k t???? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?011 1,m i n 1 , , 1mm nx x x xF k t F k k t? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1212,11m m m mmmx x x xF k k t F k k t????? ? ? ? ? ?? ?01, 1xxF k t? ???? ?， 所以 ? ? ? ?? ?0 0 1, 1x x xG t F k t??，因?yàn)?0,t? 使得 ? ?? ?01,011xxF k t??，所以 ? ?? ?0sup 1xGt? ， 所以 根據(jù)上面所述參考文獻(xiàn)中的定理知， f 存在唯一的不動(dòng)點(diǎn) 。 證明 ， 設(shè) ? ?? ?0sup 1xGt?，所以 ? ? ? ?1 1 1 1 0 0, , , ,n n m n n m n n m mx x fx fx x x x x xnnt t tF t F t F F Gk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ?,limn n mxxn F t H t??? ?，對(duì)于 tR?? ，關(guān)于 m 一致成立 ，所以 存在 lim nnxx? ??? 。 在這里要講述一個(gè)非常有用的定理，它的證明方法也在后面會(huì)很有用，這個(gè)定理的內(nèi)容和證明都出自于參考文獻(xiàn) [10]。 另一方面當(dāng) ? ?,0 , lim 0nxxnt F t??? ? ?，所以 對(duì)于 ? ? ? ?, lim nxxnt R F t H t??? ? ?成立 基本概念大致就這些，下面就可以開始研究壓縮映射下的不動(dòng)點(diǎn)問題了 。 注釋： 如果按照正常的對(duì)極限的理解，會(huì)有如下定義：如果對(duì)于? ?, 0 , , ,N? ? ? ?? ? ? 對(duì)于 nN?? , ? ?, 1nxxF ????，成立，那么稱 nx 收斂到 x 。 下面將研究概率度量空間上的壓縮映射原理， 一般的度量空間，只要具有完 22 備性，就可以找到對(duì)應(yīng)的壓縮映射原理，但是根據(jù)參考文獻(xiàn) [8]，我了解到在 1971年科學(xué)家 .HSherwood 舉出了反例，所以在 PM? 空間中探討壓縮映射原理時(shí)，需要加入更強(qiáng)的條件， 按照泛函分析中的方法和技巧，首先要在概率度量空間上定義收斂，壓縮映像，不動(dòng)點(diǎn)的概念，然后尋找適當(dāng)?shù)臈l件，構(gòu)造出概率度量空間下的壓縮映射原理，經(jīng)過本人對(duì)參考文獻(xiàn)的研究這些概念在概率度量空間下和之前探討的相同概念在形式上有很大的不同，但在本質(zhì)上還有方法上還是很相似的。 ? ? ? ?3 , m in ,a b a b?? 。 ??4 ? ?? ? ? ?? ?, , , ,a b c b c c? ? ? ? ?。 證明 ， 已知 ? ? ? ?, , ,a b c d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, 1 1 1, 2 2 2, 1 2 1 2,xyzyzxF t P d x y t PF t P d z y t PF t t P d z x t t P??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 令 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 1 2: , ,d x y d y z t t? ? ?? ? ? ? ?， 則 1 2 0? ? ? ? ? ?，因?yàn)?對(duì)于 12?? ?? ? ，有 21 ? ?? ? 1,d x y t? ? ， ? ?? ? 2,d z y t? ? ， 所以 ? ?? ? ? ?? ? 12, , ,d x y d y z t t??? ? ?對(duì)于 0?? ?? ， 又 因?yàn)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , ,d x y d y z d x z? ? ???，所以 ? ? 1P?? 。 ??4 如果 ? ? ? ?, 1 , 21, 1x y y zF t F t??，那么 ? ?, 1 2 1xzF t t??。 概率度量空間中的基本概念 ??1 記 ? ? ? ?, , 0 , ,R R D?? ?? ?? ? ??用來表示所有左連續(xù)的分布函數(shù)構(gòu)成的集合， ? ?? ?10 :1D f D f ?? ? ? ?為 D 的子集合，記 ??Ht 1, 00, 0tt?? ? ，是一種特殊的分布函數(shù)，下面會(huì)起到很大作用。自從 1942 年， .KMenger 首次提出 PM? 空間以來， 首創(chuàng)序貫分析的世界著名科學(xué)家 .AWald ，前蘇聯(lián)著名科學(xué)家 ..ANSerstnov 以及布拉格學(xué)派的杰出科學(xué)家 Spacek ，在這一領(lǐng)域做了大量的奠基性工作， 科學(xué)家們對(duì)其進(jìn)行的研究進(jìn)展一直很慢，直到 20 世紀(jì) 60 年代的時(shí)候， 美國科學(xué)家.BSchwweizer， .ASklar ， .HSherwood 等研究了 PM? 空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才是這一理論得到了擴(kuò)充以及較大的發(fā)展。 由此引理下面就可以證明隨機(jī)壓縮映射原理了 。 在 中 這些概念下可以構(gòu)造出隨機(jī)壓縮映射原理：幾乎處處的連續(xù)的隨機(jī)壓縮算子存在唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn) 。 ??3 算子 :T X X?? ? 稱為隨機(jī)算子，若 ? ?,x X T x??? 為 X 隨機(jī)元 。 注釋： 當(dāng) in? 時(shí)，有許多科學(xué)家做過研究，由于微分方程組的形式多樣，因此也得到了許多形式的壓縮映射原理，這些神奇的理論我都收集在了參考文獻(xiàn)中， 16 由于時(shí)間問題我很難在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，所以就不把那些別人的結(jié)果寫在正文里了。 根據(jù)這個(gè)定理可以構(gòu)造 如下 條件 ： ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?, , : 0 , 0 , 1 , 2 ,ik t s x a a E E i? ? ? ?且 為 連 續(xù) 映 射 ， 且 15 ? ? ? ? ? ?, 0 ,s u p , , 1 , 2i Ct s a k t s x i? ? ? ?。 由于 11Lae???， 所以也 滿足壓縮映射原理 。 13 第四章壓縮映射原理的應(yīng)用舉例 簡單積分方程的解的存在與唯一性的證明 下面來證明非線性的積分方程的解的存在與唯一性定理 ，定理內(nèi)容取自參考文獻(xiàn) [6]。 情況一， 如果 001nnT x T x?? ，那么當(dāng) 0nn? ， 000nnT x T x? ，所以 000lim nnn T x T x ??? ?? 情況二， 否則對(duì)于 ,k ???? 有 ? ?100, 0,kkd T x T x? ?因?yàn)?lim nn Tx ??? ?， 所以 ? ? ? ?000 100l im , , 0nnn d T x T x d T????? ??，所以 對(duì)于 0, ,J i J?? ? ? ?時(shí)，有 ? ? ? ?0 0 010 0 0, , ,n n nd T x T x d T x? ? ?? ??。 因?yàn)?? ?? ?0nV T x 單調(diào)遞減，非負(fù) ， 所以 ? ?0lim 0nn V T x r?? ??。 定 理：若 T 為第九類壓縮映射時(shí)，即滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , , , , , ,d T x T y d x y d y T y d x T x x y T? ? ? 連續(xù)，若存在 X?? 是 ? ?0 0n nTx??的聚點(diǎn)，則 ? 是 T 的唯一不動(dòng)點(diǎn)，且 0nTx?? 。通過對(duì)證明方法的分析，也使我對(duì)壓縮映射原理理解的更為深刻。 所以,lim 0mnmn d?? ?，即 ??nx 為 Cauchy 列 。 下面利用反證法證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?,先假設(shè) ? ?1lim ,nnn d x x p??? ?0?， 下面證明 0p? 。 （ 2） 通過證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?，進(jìn)一步證明 ??nx 為 Cauchy 列 。 唯一性，略 。 在這些壓縮映射中，若改為存在某個(gè)自然數(shù) p ，使 pT 滿足相應(yīng)條件，則又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，如果改為存在某兩個(gè)自然數(shù) ,pq，使得 ? ?,ppd T x T y 滿足不等式條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，如果存在某個(gè)函數(shù) ??px，使得? ? ? ?? ?,p x q xd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，若存在函數(shù) 5 ? ? ? ?, , ,p x y q x y，使得 ? ? ? ?? ?,p x y q x yd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，現(xiàn)在已經(jīng)有 80 種壓縮映射定理了，如果將映射改為映射對(duì)，又可得到 80 個(gè)壓縮映射定理，若改為映射序列，又有無數(shù)個(gè)壓縮映射定理了，度量空間 X 滿足什么性質(zhì)，映射 T 滿足什么條件，這些壓縮映射定理會(huì)成立呢？它們又會(huì)有哪些應(yīng)用呢？這些都是在論文中我要討論的問題。 ??13 1971年， Ciric ， ? ?0,1,h?? 對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1m a x , , , , , , , ,2h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x?????。 ??9 1972 年， ..V MSehgal ，對(duì)于任意的 ,xy X? ， xy? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , ,d x T x d y T y d x y。 ??5 1972 年， ..RM Bianchi ， ? ?0,1,h?? 對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , ,d T x T y h d x T x d y T y? 。 壓縮映射原理的簡介 根據(jù)參考文獻(xiàn) [1]， [4]， [7]中記載， 按照壓縮條件的不同，壓縮映射原理可以進(jìn)行如下分類： 設(shè) ? ?,Xd 為度量空間，映射 :T X X? ，稱為滿足下列第 ??i 個(gè)條件的映射為第 ??i 類壓縮映射，記為 ??Ti? ??1 1922 年， Banach ，對(duì)于任意的 ,xy X? 有 ? ? ? ? ? ?, , , 0 ,1d T x T y kd x y k??。 .GPeano 研究出了 把單位線段連續(xù)映入正方形 的方法 ．這兩個(gè) 成果不禁使人們猜想： 在 拓?fù)?映射中，維數(shù)可能是不變的 。這一 結(jié)果 推廣到高維球面 就是 在 n 維球內(nèi)任意映到自身的連續(xù)映射至少 存在 一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 。 . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理， 因?yàn)?它可 以 應(yīng)用到有限維 拓?fù)?空間 ，所以成為 一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石。 法國數(shù)學(xué)家 .HPoincare 在 1895 年至 1900 年，在“龐加萊的最后定理”中，把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動(dòng)點(diǎn)的存在問題，首先使用了不動(dòng)點(diǎn)的概念。另一個(gè)比較有用的應(yīng)用是在隨機(jī)泛函分析中，結(jié)合隨機(jī)變量的相關(guān)性質(zhì)給出隨機(jī)算子，隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)的定義，從而建立隨機(jī)壓縮映射原理。 事實(shí)上，這個(gè)證明方法中涉及到的迭代法在數(shù)值分析課程中也有提到，可以構(gòu)造一系列迭代關(guān)系， 從而去求得方程的近似解等數(shù)值分析的問題，這也算是由壓縮映射原理得到的一個(gè)非常重要的應(yīng)用吧。 The nonlinear differential equation III 目錄 摘要 ................................................................................................................................. I ABSTRACT .................................................................................................................. II 第一章緒論 .................................................................................................................... 1 寫作動(dòng)機(jī) ................................