【文章內容簡介】 ？它們又會有哪些應用呢？這些都是在論文中我要討論的問題。 6 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 參考文獻 [2]中記載有 Banach 壓縮映射定理 :設 X 為完備的度量空間，:T X X? 且滿足 ? ? ? ?, , ,d Tx Ty kd x y? ? ?0,1k? ，則 T 在 X 內有唯一的不動點。 證明 定義 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點，則根據(jù) 壓縮映射條件得 ? ? ? ?1 0 0,nnnd x x k d x Tx? ? ， 所以得 , ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, 1 , ,1 nnpn p n kd x x k k k d x Tx d Tx xk? ? ? ? ??? ? ? ?， 所以 ??nx 為 Cauchy 列 。 因為 X 為完備的度量空間， 所以 存在 x? 滿足 limnn xx??? ?， 所以 1nnTx x Tx x???? ? ?。 唯一性，略 。 注釋 :之所以把這個定理證明一遍是因為定理的證明方法同樣適用于其他類型的壓縮映射原理下面的例子就要說明這個問題。 例 子 設 ? ?51 1ii at? ??，其中 ? ? ? ? ? ?: 0 , 0 ,1iat ??，定義域內是單調遞減的，對于,x y x y X? ? ? ，有 ? ?,d TxTy? ? ?? ? ? ?1 ,a d x y d x y+ ? ?? ? ? ?2 ,a d x y d x Tx+ 7 ? ?? ? ? ?3 ,a d x y d Ty y+ ? ?? ? ? ?4 ,a d x y d x Ty+ ? ?? ? ? ?5 ,a d x y d Tx y，則 T 在 X 內存在唯一不動點。 分析：根據(jù) Banach 壓縮映射原理的證明可以得到如下證明思路 : （ 1） 令 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點 。 （ 2） 通過證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?，進一步證明 ??nx 為 Cauchy 列 。 （ 3） 證明 nx 的極限點是不動點 。 （ 4） 證明唯一性 . 下面就根據(jù)上述分析證明這個例題 . 證明 定義 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點 ,接下來該證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?， 根據(jù) 壓縮映射條件得 , ,1nnd? ? 1a 1,nnd? + 2a 1,nnd? + 3a ,1nnd? + 4a 1, 1nnd?? + 5a ,nnd ， 其中記 ? ?, ,m n n md d x x? ，記 ? ?1,i i n na a d ?? 。 交換 1nx? 與 nx 的位置可得另一不等式為 , 1 , 1 , 1 2 , 1 3 1 , 4 , 5 1 , 1n n n n n n n n n n n nd a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 兩個不等式相加得 , ? ? ? ?, 1 1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5 , 122n n n n n nd a a a a a d a a a a d? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 , ? ?1 2 3 4 5, 1 , 1 , 1234522n n n n n na a a a ad d da a a a? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 即 ,1nnd? 單調遞減 。 下面利用反證法證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?,先假設 ? ?1lim ,nnn d x x p??? ?0?， 下面證明 0p? 。 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 3 4 5,1 1 2 3 4 5 12 n n n n n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a bq d q b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 4 523452 12a p a p a p a p a pqp a p a p a p a p? ? ? ???? ? ? ?， 所以 ， 8 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 01 , 0nn n n n n n n n n nq d q p d q d d q q p d q p d x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這與 ,1nndp? ? 矛盾，所以 0p? 。 下證 ??nx 為 Cauchy 列 . 因為 ? ?, 1 1 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , 5 , 1,m n m n m n m m n n m n m nd d T x T x a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 1 , , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , , 5 , , 1,m m m n n n m m n n m m m n n m n na d d d a d a d a d d a d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 整理得 ， ? ? ? ?, 1 4 2 , 1 1 3 5 , 11 4 511m n m m n nd a a a d a a a da a a ????? ? ? ? ? ???? ? ?。 所以,lim 0mnmn d?? ?，即 ??nx 為 Cauchy 列 。 設 x? 滿足 limnn xx??? ?，下證 Tx x??? 。 根據(jù)極限的唯一性，也即證 limnn x Tx??? ?，因為 ? ? ? ?1,nnd x T x d T x T x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 3 4 1 5, , , , ,n n n n na d x x a d x x a d x T x a d x T x a d x x? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 3 3 4 1, , , , ,n n n n n n na d x x a d x x a d x x a d x x a d x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?4 , na d Tx x? ? ?5 , nad x x?? ， 整理得 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 4 1 3 5341, , , ,1n n n nd x T x a d x x a a d x x a a d x xaa? ? ? ?????? ? ? ? ?????， 由此可得 ? ?lim , 0nn d x Tx??? ?，即 limnn x Tx??? ?。 通過上面的討論，總結出了一套證明壓縮映射原理的方法， 從證明的例子中也可以看出： 只要涉及到遞推問題的壓縮映射原理，都可以按照上述步驟，用類似方法進行證明，雖然許多細節(jié)處不盡相同，但主要的套路是不變的。通過對證明方法的分析，也使我對壓縮映射原理理解的更為深刻。理解了證明，在此基礎 9 上構造出新的壓縮映射原理也會變得容易。 10 第三章 Banach 壓縮映射原理的 推廣 推廣的背景 ： 在 第一章 中列舉有代數(shù)型壓縮映射原理共計 80 類， 根據(jù) 參考文獻 [3]， 1977年， 數(shù)學家 ..BERhoades 提出了六個公開問題： (1) 若 f 為第 16 類壓縮映像， f 在 X 中連續(xù)而且若存在 0xX? , 而且 ? ?0nfx 有聚點，那么 f 是否有不動點？ (2) 若（ 1）是錯誤的猜想，那么修改成為什么條件可以保證 f 有不動點？ (3) 當 f 是第（ 61）至（ 64）類的壓縮映像之時，會有怎樣的結論？ (4) 當 f 是第（ 68）至（ 80）類的壓縮映像之時，會有怎樣的結論？ (5) 局部壓縮能否推廣到（ 10）（ 26）（ 42）（ 58）（ 74）？ (6) 上面的 5 個問題對于映像對，序列時的情況又有什么樣的結論？ 對于上述問題，科學家的出了很多成果，本文主要是對證明方法的應用，所以下面在種類繁多的壓縮映射原理中任選一個進行證明。 下面根據(jù)之前總結的方法，證明 參考文獻 [5]中的一個定理。 定 理：若 T 為第九類壓縮映射時，即滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , , , , , ,d T x T y d x y d y T y d x T x x y T? ? ? 連續(xù)，若存在 X?? 是 ? ?0 0n nTx??的聚點，則 ? 是 T 的唯一不動點，且 0nTx?? 。 證明 因為 X?? 是 ? ?0 0n nTx?? 的聚點 ，所以 可以設 0lim iinn Tx ??? ? ，下面分三步證明， 11 第一步， 如果存在 ,k ??? 使得 100kkT x T x?? ， 因為0lim ii nn Tx ??? ?， 所以 10 0 0 0l im l im l im l imi i i ii i i in n k n k nkkn n n nT x T T x T T x T T x T???? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?。 第二步： 與 第一步 中條件互補， 即 如果對于 ? ,k ??? ? ?100,0kkd T x T x? ?， 令 ? ?( ) , ,V x d x Tx x X??,那么滿足 ??Vx非負連續(xù) ，因為 T 為第九類壓縮映射 ，所以 ? ? ? ?,V Tx V x? 對于 x Tx?? ，因為， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?2, m a x , , , , , m a x , ,V T x d T x T T x d x T x d x T x d T x T x V x V x V T x? ? ?所以 ? ? ? ?,V Tx V x? 對于 xX?? 。 因為 ? ?0nTx?? ， 所以 in? ，使得 0lim iinn Tx ??? ? 。 因為 ? ?? ?0nV T x 單調遞減，非負 ， 所以 ? ?0lim 0nn V T x r?? ??。 因為 V 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?00l i m l i miiiinnnnV T x V T x V r?? ? ? ?? ? ?。 因為 T 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?100l im l imii innnnV T x V T T x V T ??? ? ? ?????????，所以 ， ? ? ? ?V T V??? (極限的唯一性 )， 所以， T??? (否則， ? ? ? ?V T V??? )。 第三步： 下面證明0lim nn Tx ??? ?。 情況一， 如果 001nnT x T x?? ，那么當 0nn? ， 000nnT x T x? ，所以 000lim nnn T x T x ??? ?? 情況二， 否則對于 ,k ???? 有 ? ?100, 0,kkd T x T x? ?因為0lim nn Tx ??? ?， 所以 ? ? ? ?000 100l im , , 0nnn d T x T x d T????? ??，所以 對于 0, ,J i J?? ? ? ?時，有 ? ? ? ?0 0 010 0 0, , ,n n nd T x T x d T x? ? ?? ??。 所以 當 jnn? 時，有 ? ? ? ?00,n n nd T x d T x T??? ? ? ? ?? ?110 0 0m a x , , , , 0n n nd T x d T x T x???? 12 ? ? ? ?? ?2 1 20 0 0m a x , , ,n n nd T x d T x T x?? ? ?? ? ? ? ?? ?10 0 0m a x , , ,j j jn n nd T x d T x T x???? ??? ? ?。 所以0lim nn Tx ??? ? 。 本章內容是對第二章內容的更深層次的推廣，但用到證明的核心思想和上一章是一樣的，通過對類似問題的研究使我明白看問題不能只