淺析vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 19:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 = =1（按行列式首項(xiàng)展開得到） (2)注意到行列式（2）是階Vandermonde行列式，即已經(jīng)將用表示出來。重復(fù)用上述方法對(duì)進(jìn)行求解，經(jīng)過有限步可以得到：=（…）()…()= 即證。方法二：數(shù)學(xué)歸納法證：當(dāng)時(shí),成立。假設(shè)對(duì)于階成立，對(duì)于階有：首先要把降階，從第n行起后一行減去前一行的倍，然后按第一行進(jìn)行展開，就有，于是就有=，其中表示連乘，的取值為，原命題得證。方法一與方法二的實(shí)質(zhì)與算法是一致的，可以說是同一種方法。 Vandermonde行列式的性質(zhì) 推廣的性質(zhì)定理：行列式= = (k=0,1,2…n1),其中是中（）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列。表示對(duì)所有（）階排列求和。 證：（i）在行列式中增補(bǔ)第（）行和（）列相應(yīng)的元素考慮（）階Vandermonde行列式 = … … … … = (*) (ii)由(*)式的兩端分別計(jì)算多項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)，在(*)左端，由行列式計(jì)算：的系數(shù)為行列式中該元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，在(*)式右端，由多項(xiàng)式計(jì)算為的個(gè)不同根。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，項(xiàng)的系數(shù)為，其中是1，2…中（）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，表示對(duì)所有（）階排列求和。（iii）比較中項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算行列式，因?yàn)?*)式左右兩端項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，所以 即 （**） 定理得證。 利用此性質(zhì)定理可以計(jì)算各階準(zhǔn)Vandermonde行列式，簡(jiǎn)便易行。特別，當(dāng)時(shí)，令=1，（**）式即為Vandermonde行列式V。例4 計(jì)算準(zhǔn)Vandermonde行列式 解 由定理，=6,=3,所以 = . 一個(gè)Vandermonde行列式為0的充分必要條件是中至少有兩個(gè)相等. Vandermonde行列式的偏導(dǎo)數(shù).定理 ，由Vandermonde行列式的定義知，是的元函數(shù).例5 設(shè)是個(gè)兩兩互異的數(shù)，證明對(duì)任意個(gè)數(shù)，存在唯一的次數(shù)小于的多項(xiàng)式，使得，.證 從定義容易看出的次數(shù)小于，且，故只需證明唯一性即可.設(shè)滿足 ，即，這個(gè)關(guān)于 的線性方程組系數(shù)行列式為，故是唯一的，必須. 這就是有名的拉格朗日插值公式。例6 設(shè)是個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，滿足 . 證明： .
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