【文章內(nèi)容簡介】 2 2 0k j k j n k n jD k ja A a A a Akj??? ? ? ?? ?? 行列式某行（列）的元素乘另一行（列） 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即 2 3 2 42 1 8 63 5 6 61 1 1 1D ?31 32 33 343 5 6 6A A A A? ? ? ?31 32 33 34 ?A A A A? ? ? ?2 3 2 42 1 8 601 1 1 11 1 1 1? 0 k ≠ i 0 k ≠ j 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 23 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng) 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 .,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?推論 證明： 由前面的定理，行列式等于某一行的元素分別與它們 代數(shù)余子式的乘積之和。 在 nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD????????????????21212111211?中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素 2022/2/9 24 則， ???? inknikik AaAaAa ?2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa????????????????21212111211? 第 i行 右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為 0 。 證畢 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng) 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 推論 .,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?2022/2/9 25 綜上，得公式 ???? inknikik AaAaAa ?2211 ?????），（當(dāng)）（當(dāng)ikikD0 ,???? njnljljl AaAaAa ?2211?????），（當(dāng)）（當(dāng)jljlD0 ,注： 直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€(gè) n階行列式換成 n個(gè)（ n－ 1）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零 時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。 2022/2/9 26 Property 3 用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素 . 1 1 1 2 11212=ni i inn n n na a ak a k a k aa a a即 11 12 11212ni i inn n nna a ak a a aa a a第 i 行（列）乘以 k ，記作 ()iir k c k??Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符號外面 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 27 Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該行 列式為零 . ( 取 k = 0 ) Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例 , 則 此行列式為零 . ( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 ) Property 4 11 12 1 11 12 1 11 12 11 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2n n nn n n nn n nn n n nn n n nna a a a a a a a ab c b c b c b b b c c ca a a a a a a a a? ? ? ? ?由 ，按該行（列）展開可得 . 該行每個(gè)元素為 兩個(gè)元素之和 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 28 Theorem 1 行列式等于它的某一行（或列）的元素與 其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 1 1 2 21. . . ( 4 )nn i i i i i n i n i k i kkD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?1 1 2 21. . . ( 5 )nn j j j j n j n j k j k jkD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?或 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 29 11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aDa a a?11 21 112 22 212nnTn n nna a aa a aDa a a?Property 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . 由 可知，在行列式中，行與列具有相等的 地位 . 因而，行列式對其行具有的性質(zhì)，對列也成立 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 30 Corollary 1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此 行列式為零 . Corollary 2 1 1 2 2 0k i k i k n i nD k ia A a A a Aki??? ? ? ?? ??1 1 2 2 0k j k j n k n jD k ja A a A a Akj??? ? ? ?? ?? 行列式某行（列）的元素乘另一行（列） 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零 . 即 Property 2 互換行列式的兩行 (列 )，行列式值變號 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 31 綜上，得公式 ???? inknikik AaAaAa ?2211 ?????），（當(dāng)）（當(dāng)ikikD0 ,???? njnljljl AaAaAa ?2211?????），（當(dāng)）（當(dāng)jljlD0 ,注：直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算， 因?yàn)榘岩粋€(gè) n階行列式換成 n個(gè)（ n－ 1）階行列 式的計(jì)算并不減少計(jì)算量； 只是在行列式中某一行或某一列含有較多的 零 時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。 但展開定理在理論上是重要的。 2022/2/9 32 Property 3 用數(shù) k 乘以行列式，相當(dāng)于用數(shù) k 乘以行 列式的某一行（列）的所有元素 . 1 1 1 2 11212=ni i inn n n na a ak a k a k aa a a即 11 12 11212ni i inn n nna a ak a a aa a a第 i 行（列）乘以 k ，記作 ()iir k c k??Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公 因子，可以提到行列式符號外面 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 33 Corollary 2 如果行列式中一行（列）為零，則該行 列式為零 . ( 取 k = 0 ) Corollary 3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例 , 則 此行列式為零 . ( 由 Pro. 3 Co. 1 及 Pro. 2 ) Property 4 11 12 1 11 12 1 11 12 11 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2n n nn n n nn n nn n n nn n n nna a a a a a a a ab c b c b c b b b c c ca a a a a a a a a? ? ? ? ?由 ，按該行（列）展開可得 . 行列式的性質(zhì)小結(jié) 2022/2/9 34 Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以數(shù) k ，然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式 不變 . 即 1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 1 2 2 1 21 2 1 21 2 1 2nni j i j in jn i i inj j jn j j jnn n n n n n n na a a a a aa k a a k a a k a a a aa a a a a aa a a a a a? ? ??以數(shù) k 乘第 j 行加到第 i 行，記作 ijr kr?（由 Pro . Pro .3 ） 注意表示！ 三 、行列式的性質(zhì) 2022/2/9 36 Example 8 計(jì)算 2 5 1 23 7 1 410 7 2 74 6 1 2D?????Solution: 化行列式為上（下）三角行列式是一重要方法 13ccD ?1 5 2 21 7 3 42 7 10 71 6 4 2????? 21rr?312rr?41rr?1 5 2 20 2 5 60 3 6 30 1 2 0??? 3 3r ?32rr?1 5 2 20 1 2 130 2 5 60 1 2 0??322?42rr?1 5 2 20 1 2 130 0 1 40 0 4 1?434rr?210 1 40