【正文】 便于表示、記憶和推廣 求解二元線性方程組 1212322121xxxx???? ???由于 323 ( 4 ) 7 0 ,21D ?? ? ? ? ? ?12 1 2 ( 2 ) 1 41121D?? ? ? ? ?23 3 2 4 2 12121D ? ? ? ? ?121 4 2 12 , 377DDxx ?? ? ? ? ? ? ?因 此 ，Solution: 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b???? ???（ 1） 1 12 11 12 22 21 2121211 12 11 1221 22 21 22b a a bb a a bDDxxa a a aa a a a? ? ? ??用行列式形式表示方程組的解 2022/2/9 6 類似地，定義三階行列式 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?+ 計算（定義）規(guī)則稱為對角線規(guī)則（或沙流氏規(guī)則） . Example 3 計算三階行列式 1 4 12 5 31 1 1????1 4 12 5 31 1 1????= 5 +12 2 5 +8 +3 =11 Solution: 基本概念 2022/2/9 7 二、 n 階行列式 用遞歸的方法來定義 n 階行列式 . 由 n2 個元素 aij ( i , j = 1,2,…, n ) 排成 n 行 n 列， 11 12 121 22 212nnnn n nna a aa a aDa a a? （ 2 ）稱為 n 階行列式 . 數(shù) 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?? 11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22 31( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ?? 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 21 1 1 2 1 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a??行數(shù)與列數(shù)相等 特點？ 基本概念 在 (2) 式中， a11,a22,…, ann 所在的對角線稱為行列式的主對角線 . 2022/2/9 8 ? 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 21 1 1 2 1 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a??? 11 11 12 12 13 13a M a M a M??11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a? 11 11 12 12 13 13a A a A a A??M11 M12 M13 Definition 1 在 n 階行列式 D 中，將 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，余下的元素按原相對位置構(gòu)成的一 個 n 1 階行列式，稱為 aij 的 余子式 ，記作 Mij . 稱 Aij = (1)i+jMij，稱為元素 aij 的 代數(shù)余子式 . 二、 n 階行列式 2022/2/9 9 Definition 2 當(dāng) n = 1 時，定義一階行列式 , 若定義了 n1 ( n ≥2) 階行列式，則定義 n 階行列式為 1 1 1 1aa?111( 3 )nkkkaA?? ?11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa a a aa a a aDn = a11A11 + a12A12 + …+ a1nA1n 也稱 (3) 為 n 階行列式關(guān)于第一行的展開式 . 數(shù) aij 稱為行列式 Dn 的第 i 行第 j 列元素 . Note : 當(dāng) n ≥ 4 時 ， 對角線法則不再 適用 Dn 的計算 . 如 4 階行列式： 按對角線法共有 8 項代數(shù)和； 4! = 24 項 . 但按定 義，共有 n 階行列式？ 二、 n 階行列式 2022/2/9 10 Example 4 證明 n 階下三 角行列式 (當(dāng) i j 時， aij = 0， 即主對角線以上元素全為零 ) 1121 2211 2212000n nnn n nnaaaD a a aa a a??2232 33111123000( 1 )n n nnaaaaa a a???1121 2212000nn n nnaaaDa a a?Proof : 對 n 作數(shù)學(xué)歸納法， n = 2 時，結(jié)論顯然成立 , 假設(shè)結(jié)論對 n1 階下三角行列式成立，則由定義得 右端行列式是 n1 階下三角行列式，根據(jù)歸納假設(shè)得 Dn = a11a22… ann 特別地，主對角行列式 112211 22000000n nnnnaaD a a aa??二、 n 階行列式例子 2022/2/9 11 2 ( 1 )3 ( 2 ) 3 ( 1 )111 ( 1 ) ( 1 )000( 1 )nnnnnn n n n naaaaa a a????????( 1 )2 1 2 ( 1 ) 1( 1 )nnn n na a a????( 1 ) ( 2 )1 21 2 ( 1 ) 3 ( 2 ) 1( 1 ) ( 1 )nnnn n n n nD a a a a?????? ? ?? ?1( 1 )2 ( 1 ) 221 2 ( 1 ) 11 ( 1 )0001nnnnnn n n nn n n nnaaaD a a aa a a????? ? ?Example 5 證明 n 階行列式 Proof : 對 n 作數(shù)學(xué)歸納法， n = 2 時，結(jié)論顯然成立 , 假設(shè)結(jié)論對 n1 階行列式成立，則由定義得 12 ( 1 ) 21 ( 1 )000nnnnn n n nnaaaDa a a???根據(jù)歸納假設(shè)得 特別地， 1( 1 )2 212( 1 )nnnn??? ? ?????二、 n 階行列式例子 2022/2/9 12 第二節(jié) 行列式性質(zhì)與展開定理 2022/2/9 13 行列式的計算是一個重要卻很麻煩的問題 . n 階行列式共有 n! 項 ，計算它需要 n!(n1) 次乘法 , 直接用定義計算行列式幾乎是不可能的 . 因此，有必要進一步討論行列式的 性質(zhì) ，利用這 些性質(zhì)簡化行列式的計算 . 說明 1： 一、行列式按行（或列）展開定理 一般 說來，低階行列式的計算比高階行列式的計 算更簡便，所以，是否可用 低階行列式 表示高階行列 式，行列式定義已表示 n 階行列式可按第一行展開 . 2022/2/9 14 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a? 2 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 31 1 2 1 3 13 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3a a a a a aa a aa a a a a a??? 11 11 21 21 31 31a M a M a M?? ? 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1a A a A a A?? 此式說明三階行列式也可以關(guān)于第一列展開 . 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ??2 1 1 2 3 3 1 3 3 2 2 2 1 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 1( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ?? 1 2 1 3 1 1 1