行列式定義性質(zhì)與計算(1)(編輯修改稿)
2025-06-15 10:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 同列的 行列式有時簡記為 | a ij |.一階行列式 |a|就是 a. = 說明： nn jnjjjjj aaa .. .)1(2121 21)...(? ? ?下頁(2) 項 nnjjj aaa ???21 21《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 在乘積 a14a23a31a44 14 44 a14a23a31a42 14 23 31 42例如，四階行列式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 (?1)τ(4312) a14a23a31a42為 行列式中的一項 . 表示的代數(shù)和中有 4!?24項 . a14a23a31a42取自不同行不同列 , 的列標排列為 4312 所以它不是行列式中的一項 . 中有兩個取自第四列的元素， 下頁(為奇排列 )， 《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 1 1 1 22 1 2 2aaaa2112)21(2211)12( )1()1( aaaa ?? ????D = 行列式計算 解： 根據(jù)行列式定義 21122211 aaaa ??2112122110 )1()1( aaaa ????例 1． 計算 2 階行列式 D = 1 1 1 22 1 2 2aaaa注 ： 3階行列式的計算類似 ， 略 . 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 例 2． 計算 n 階下三角形行列式 D的值 其中 aii?0(i?1, 2, ? ? ? , n). D ? a11 a21 a31 … an1 0 a22 a32 … an2 0 0 a33 … an3 0 0 0 … ann … … … … … 解： 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零， D ? (?1)τ(1 2 ? ? ? n)a11a22a33? ? ? ann 第一行只能取 a11， 第三行只能取 a33， 第二行只能取 a22， 第 n 行只能取 ann. ? ? ? ? ? ?， 這樣 不為零 的 乘積 項只有 a11a22a33? ? ? ann， 所以 ? a11a22a33? ? ? ann. 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 例 3． 計算 n 階下三角形行列式 D的值 D ? 0 0 … 0 bn … … … bn1 * 0 0 … * * b1 * … * * 0 b2 … * * 解： 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零， D ? (?1)τ(n n1 ? ? ? 21) b1b2b3? ? ? bn 第一行只能取 b1， 第 n1行只能 第二行只能取 b2， 第 n 行只能取 bn . ? ? ? ? ? ?， 這樣 不為零 的 乘積 項只有 b1b2b3? ? ? bn， 所以 取 bn1， nnn bbb ?212)1()1( ???下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 下三角形行列式的值： a11 a21 a31 … an1 0 a22 a32 … an2 0 0 a33 … an3 0 0 0 … ann … … … … … ? a11a22a33?
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