n階行列式的定義全(編輯修改稿)
2025-06-16 23:05 本頁面
【文章內容簡介】 即 經(jīng)過一次對換，奇排列變?yōu)榕寂帕校寂帕凶優(yōu)槠媾帕小? 證明： 第一種情形。 先看相鄰對換的情況 設排列為 ，對換 與 ，變?yōu)? 11lma a a b b b a b 11lma a b a b b顯然， ， 這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過對換并不改變， 1 laa 1 mbb 與 兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋? a bab?當 時， 經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加 1而 的逆序數(shù)不變； a b當 時， 經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變而 的逆序數(shù)減少 1； ab? ba所以， 排列 與排列 的奇偶性改變。 11lma a a b b b 11lma a b a b b第二種情形。 再看一般情況。 設排列為 ，對它做 次相鄰對換，變成 1 1 1l m na a a b b b c cm1 1 1l m na a a b b b c c再做 次相鄰對換，變成 1m? 1 1 1l m na a b b b a c c總之，經(jīng) 次相鄰對換，排列 變成 21m? 1 1 1l m na a a b b b c c1 1 1l m na a b b b a c c所以這兩個排列的奇偶性改變。 定理 2 個自然數(shù) 共有 個 級排列，其中奇偶排列各占一半。 n ? ?1n? !n n證明 級排列的總數(shù)為 個。 n !n設其中奇排列為 個，偶排列為 個。 p q若對每個奇排列都做同一對換，則由定理 1， 個奇排列均變成偶排列，故 ； p pq?同理，對每個偶排列做同一變換，則 個偶排列均變成奇排列，故 。 q qp?從而， !2npq??三、 n階行列式的定義 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?規(guī)律： 3!項。 、不同列的三個元素的乘積。 ：當該項元素的行標按自然數(shù)順序排列后，如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號，奇排列則取負號。 所以，三階行列式可以寫成 1 2 31 2 31 2 3()1 2 3( 1 )j j jj j jj j ja a a????其中 表示對所有 3級排列求和 。 1 2 3j j j?二階行列式有類似規(guī)律 。 下面將行列式推廣到一般的情形 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?定義 由 個元素 排成 n行、 n列構成的記號： 2n ? ?, 1 , 2, ,ija i j n?12121211 12 121 22 2 ()1212( 1 ) nnnnn j j jj j njj j jn n nna a aa a aD a a aa a a?? ? ??簡記作 ， 其中 為行列式 D的 (i, j)元 ? ?det ijaija稱為 n階行列式 ，其中 表示對所有 n階排列 求和。 12 nj j
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