n階行列式的定義全(編輯修改稿)
2025-06-16 23:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 即 經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變?yōu)榕寂帕?，偶排列變?yōu)槠媾帕小? 證明： 第一種情形。 先看相鄰對(duì)換的情況 設(shè)排列為 ，對(duì)換 與 ，變?yōu)? 11lma a a b b b a b 11lma a b a b b顯然， ， 這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變， 1 laa 1 mbb 與 兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋? a bab?當(dāng) 時(shí)， 經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加 1而 的逆序數(shù)不變； a b當(dāng) 時(shí)， 經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變而 的逆序數(shù)減少 1； ab? ba所以， 排列 與排列 的奇偶性改變。 11lma a a b b b 11lma a b a b b第二種情形。 再看一般情況。 設(shè)排列為 ，對(duì)它做 次相鄰對(duì)換，變成 1 1 1l m na a a b b b c cm1 1 1l m na a a b b b c c再做 次相鄰對(duì)換，變成 1m? 1 1 1l m na a b b b a c c總之，經(jīng) 次相鄰對(duì)換，排列 變成 21m? 1 1 1l m na a a b b b c c1 1 1l m na a b b b a c c所以這兩個(gè)排列的奇偶性改變。 定理 2 個(gè)自然數(shù) 共有 個(gè) 級(jí)排列，其中奇偶排列各占一半。 n ? ?1n? !n n證明 級(jí)排列的總數(shù)為 個(gè)。 n !n設(shè)其中奇排列為 個(gè)，偶排列為 個(gè)。 p q若對(duì)每個(gè)奇排列都做同一對(duì)換，則由定理 1， 個(gè)奇排列均變成偶排列，故 ； p pq?同理，對(duì)每個(gè)偶排列做同一變換，則 個(gè)偶排列均變成奇排列，故 。 q qp?從而， !2npq??三、 n階行列式的定義 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?規(guī)律： 3!項(xiàng)。 、不同列的三個(gè)元素的乘積。 ：當(dāng)該項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào)，奇排列則取負(fù)號(hào)。 所以，三階行列式可以寫成 1 2 31 2 31 2 3()1 2 3( 1 )j j jj j jj j ja a a????其中 表示對(duì)所有 3級(jí)排列求和 。 1 2 3j j j?二階行列式有類似規(guī)律 。 下面將行列式推廣到一般的情形 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?定義 由 個(gè)元素 排成 n行、 n列構(gòu)成的記號(hào)： 2n ? ?, 1 , 2, ,ija i j n?12121211 12 121 22 2 ()1212( 1 ) nnnnn j j jj j njj j jn n nna a aa a aD a a aa a a?? ? ??簡(jiǎn)記作 ， 其中 為行列式 D的 (i, j)元 ? ?det ijaija稱為 n階行列式 ，其中 表示對(duì)所有 n階排列 求和。 12 nj j
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