行列式的計算技巧總結(jié)(編輯修改稿)
2025-07-13 18:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例8 解行列式D=.解：使行列式D變成階行列式，即.再將第一行的倍加到其他各行，得：D=.從第二列開始，每列乘以加到第一列，得：.有些行列式，可通過計算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學歸納法去證明．對于高階行列式的證明問題，數(shù)學歸納法是常用的方法．例9 計算行列式.解:用數(shù)學歸納法證明.當時，.當 時，.猜想，.由上可知，當，時，結(jié)論成立．假設(shè)當時，結(jié)論成立．即：.現(xiàn)證當時，結(jié)論也成立．當時，.將按最后一行展開，得 .因為，所以.這就證明了當時也成立，從而由數(shù)學歸納法可知，對一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立．即：. 遞推法技巧分析：若階行列式滿足關(guān)系式.則作特征方程.① 若，則特征方程有兩個不等根，則．② 若，則特征方程有重根，則．在①②中， A，B均為待定系數(shù)，可令求出．例10 計算行列式.解：按第一列展開，得.即．作特征方程.解得.則.當時，；當時，.解得，所以.行列式的幾種特殊計算技巧和方法 拆行（列）法 概念及計算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個或若干個行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質(zhì)拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不變，使其化為兩項和． 例題解析例11 計算行列式.解：把第一列的元素看成兩項的和進行拆列，得 上面第一個行列式的值為1，所以.這個式子在對于任何都成立，因此有. 構(gòu)造法 概念及計算方法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構(gòu)造一個容易求解的行列式，從而求出原行列式的值． 例題解析例12 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來間接求出的值．構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有. 特征值法 概念及計算方法設(shè)是級矩陣的全部特征值，則有公式.故只要能求出矩陣的全部特征值，那么就可以計算出的行列式． 例題解析例13 若是級矩陣的全部特征值，證明：可逆當且僅當它的特征值全不為零．證
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