行列式的計算方法研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 01:05 本頁面
【文章內容簡介】 為 該項列標排列的逆序數(shù)等于，故. 總結：對上面的例題，可以看出，行列式中0元素比較多的，那么用定義法計算比較簡略。對于這一類型行列式形狀，我們?yōu)榱朔奖阌嬎隳嫘驍?shù)，最好把它的個數(shù)做成等差或等比數(shù)列。 利用行列式的性質計算 例1： ，一個n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對稱行列式。證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式可表示為，由行列式的性質，當為奇數(shù)時，得，因而得 化為三角形行列式 若能把一個行列式經(jīng)過適當變換化為三角形，其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。 化為三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。 原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。 直接化為階梯形例1 計算行列式．解： 這是一個階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算． 相同去項化上三角形例題2：計算n階行列式．解：這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此n列之和全同．將第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．第二章 特殊法求行列式階法 按行（列）展開法 降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據(jù)行列式的特點，先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。 先簡再展例1:計算20階行列式[分析]這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*20－1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。 注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算： 按第一行（列）展開例2 ： 計算n階行列式解 將按第1行展開.例3：計算n（n≥2）階行列式 ．解 按第一行展開，得 ． 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到． 遞（逆）推公式法 遞推法是根據(jù)行列式的構造特點，建立起與的遞推關系式，逐步推下去，從而求出的值。 有時也可以找到 與 , 的遞推關系，最后利用 ... 得到 的值。 注意:用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。 等差數(shù)列遞推例1: 計算行列式.解：將行列式按第列展開,有,得 。同理得 , 例2 ： 計算解： 同理聯(lián)立解得當時, “一路直推”例1: 計算階行列式．解 首先建立遞推關系式．按第一列展開，得：這里與有相同的結構，但階數(shù)是的行列式．現(xiàn)在，利用遞推關系式計算結果．對此，只需反復進行代換，得：因，故．最后，用數(shù)學歸納法證明這樣得到的結果是正確的．當時，顯然成立．設對階的情形結果正確，往證對n階的情形也正確．由可知，對n階的行列式結果也成立．根據(jù)歸納法原理，對
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