【文章內(nèi)容簡介】 )13)(12(!),2,1(!1333122211111!121222???????????????????????????????nnnnnnnnnVnnnnnDnnnnn 加邊法（升階法） . 在運(yùn)算中可以通過增加一行一列 , 使行列式在原來的基礎(chǔ)上增加一行一列（增加的一行一列元素一般是由 0 和 1構(gòu)成） , 同時保證行列式的值不變 , 從而使行列式的計算變得容易 1111001001???nnnnnnn DxxorxDxD???? 把 n 階行列式轉(zhuǎn)化為 n+1 階行列式，只要巧妙地選取 nxxx , 21 ? 結(jié)合行列式的性質(zhì) 例 6 計算 0,1111111112121????? nnn aaaaaaD ???????? 解： 15 nnaaaD????11111111121??????? ),)(11(0000000001111100100100a11111a11101110111011112112111a11,2211n21211nni inni iininnaaaaaaaaaaaai?????????????????????????????????????????????????列加到第列第）（行行到第從第行分別減去第加邊 歸納法 利用數(shù)學(xué)歸納法來計算 ( 證明 ) 某些 n 階行列式 . 例 7 利用數(shù)學(xué)歸納法證明 1111212 ( 1 )01 0 00 1 00 0 1nniiinnnabaabbbaD ???? ? ? ? 16 證明：當(dāng) 1?n 時有： 12 101a bD ? 1111)1( ba??? 命題成立。 假設(shè) kn? 時，命題成立，要證 1??kn 時，等式成立。 12 1121 2101 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1kkn kkka a a abbDDbb?? ???? b按最后一行展開得： 1212 112 2 1 222101 0 01 0 0 00 1 0( 1 ) ( 1 ) 10 1 0 00 0 10 0 1 0kkkk k k kkkka a aa a a abbDbb?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 將 010000100001121????????? ?kk aaaa 按最后一列展可得 111)1( ???? kk a = 12)1( ??? kk a 將 kkbbbaaa10001000102121????????? 前 1?k 列 )( ib?? 加到最后一列得12 1( 1 )1 0 0 00 1 0 00 0 1 0kk i iia a a a b?? ? 按最后一列展開得 ： 17 1111 0 00 1 0( 1 ) ( 1 )0 0 0ik kii ab???? ? ?? = 31( 1)kk iii ab? ?? ? 所以 iikikkkkkk babaD 133211632 )1()1()1( ??????? ??????? iikikkkk baba 1)2(311)2(3 )1()1( ????? ????? iikikkkk baba 1)2(11)2( )1()1( ????? ????? )()1(111)2( iikikkk baba ???? ???? iikik ba11)2()1( ??? ??? 因為 1??kn ， 所以 12 ?? ? nk DD iinin ba1)1()1( ?? ??? 故本題得證 . 注：本題可按行列式定義展開，也可按行或者列展開，還可將第 1?i 行 )1,2,1( ?? ni ? 乘以 )( ia? 都加到第 1行，再按第 1行展開。同樣可證 得此式 分解行列式法（拆項法） 分解行列法的原理 :如果行列式某行 (列 )是兩行 (列 )之和 ,將行列式分解為兩個行列式的和 ,然后再利用性質(zhì)進(jìn)行計算。 例 8 計算 n 級行列式 xzzzyxzzyyxzyyyxD n?????????? 解：（ 1）當(dāng) y=z 時，容易計算的 ])1([)( 1 ynxyxD nn ???? ? （ 2）當(dāng) xy? 時，將 n 列寫成兩項和 )(。0 yxyxyy ????? 18 那么 nD 可以拆成兩個行列式之和，即 CDyxD nn ??? ?1)( ，其中 0000yzyzxzyxyzxzyxxzyyyxyzzzyxzzyyxzyyyxC???????????????????????????? 111)(00000000000)1(0000)1(??????????????????????????nnnzxyxzxzxzyxxzyyzyzyzxzyxyzyzxzyzxzyxxzy?????????????????? 因此有 11 )()( ?? ???? nnn zxyDyxD ，根據(jù) y,z 的對稱性，類似可得： 11 )()( ?? ???? nnn yxzDzxD 作差可得 11 )()()( ?? ????? nnn yxzzxyDxy 即 zy yxzyxyDnnn ? ?????? 11 )()( 分離線性因子法 分離線性因子法是把行列式看成含其中一個或多個字母的多項式 ,變換它 ,如果發(fā)現(xiàn)它可被一些線性因子 所整除且這些線性因子互質(zhì) ,則它可被這些因子的積整除。 例 9 計算二階 Vandemronde 行列式 19 121222211211111????nnnnnnnxxxxxxxxxD???????? 解：將 nD 看作 nx 的多項式 , 因為 121 , ???? nnnn xxxxxx ?時 0?nD 故 nD 可被121 , ???? nnnn xxxxxx ?除盡 ,從而 nD 可被 ??? ?11 )(ni in xx除盡 ,于是 )())()(,( 12121 ????? nnnnnn xxxxxxxxxqD ?? 按最后一行展開 nD ,可知 nD 是關(guān)于 nx 的 n1 次多項式且 1?nnx ,的系數(shù)等于 121 , ?nxxx ? 的vnadermonde 行列式 1?nD , 故 由 上 面 的 等 式 可 知 多 項 式 ),( 21 nxxxq ? 中不含 nx 且1121 ),( ?? ? nn Dxxxq ? 因此 ???? ??111 )(ni innn xxDD 由此遞推式即可得到 ???? ?? 1 )(jin jin xxD 構(gòu)造法 構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造一個新行列式 ,然后再利用性質(zhì)進(jìn)行計算 . 例 10 計算 nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD???????????4321224232221224232221432111111?????? 解 :根據(jù)行列式的特點(diǎn) ,把原行列式加一行一列構(gòu)造成范德蒙行列式 ,即 20 nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD???????????21111211222121222221211111????????? ?? ????? ji ijn xxxyxyxy )()())(( 21 ? 這是一個關(guān)于 y的 n階多項式，由于 nD 是 1?nD 中 1?ny 的系數(shù)的相反數(shù) ,由上式右端可知 1?ny 的系數(shù)為 ???? ?? ji ijni i xxx )()( 1. 故原行列式的值就是 ???? ?ji ijni i xxx )(1 鑲邊法 利用行列式按行 (列 )展開的性質(zhì) ,把 n階行列式通過加行 (列 )變成與之相等的 n+1 階行列式 ,利用行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行 (列 )的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行 (列 ),使其它行 (列 )出現(xiàn)更多為零的元素后再進(jìn)行計算 .添加的行與列一般有四種方式 ,分別是添加在 :(1)首行首列、 (2)首行末列、 (3)末行首列、 (4)末行末列 .當(dāng)然有時也添加在行列式的一般行與列的位置 .(1)添加首行首列或末行末列 . 注意：能夠利用鑲邊法的題目往往具有如下兩種特征之一 :(1)各行 (列 )有 很多相同的元素 ,但是直接利用行列式的性質(zhì)把一行 (列 )的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行 (列 )的時候不容易變成三角形行列式 ,或者說出現(xiàn)的零的個數(shù)還不夠多 。(2)添加一行 (列 )后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來 例 11 計算行列式 nnnnnnnaaaaaaaaaD??????????111111111222221211??????? 解： 21 nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaD??????????????????22222121122222121111111111111111111110001 ?????????????? 121222222111121122222121111111100011110002???????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa