【文章內(nèi)容簡介】 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（ 3） 把（ 3）看成關(guān)于 1212, , , nppp na a a? ? ?為未知量的齊次線形方程組則（ 3）的系數(shù)行列式 121 1 2 21 1 1 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2)nnnn n np p pDp p p p p pp p p n p p p n p p p n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 范德蒙行列式在解答整除問題中的應(yīng)用 多項式的根 與整除性是密切相關(guān)的，所以有時候可以利用范德蒙行列式的性質(zhì)來討論整除問題。 例 1. 設(shè) 12, , , na a a 是正整數(shù)，證明 n階行列式 211 1 1212 2 221111nnnnn n na a aa a aVa a a???? 能被 ? ? ? ?2121 2 2 1nn nn?? ??整除． 證明： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 21 1 12 2 21 1 1 2 21 1 1 2 21 1 1 2 211 2 11 1 ! 2 ! 1 ! 1 2 111 2 1nn n n n n n nn n na a a a a a a na a a a a a a nVa a a a a a a na a ana a an na a an? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 能被 ? ? ? ? ? ?2121 ! 2 ! 1 ! 1 2 2 1nnn n n??? ? ? ?整除． . 例 2. 試證若 zyx , 是不同的整數(shù)，而 n 是非負(fù)整數(shù)，則 ))(())(())(( yzxz zzyxy yzxyx xSnnnn ????????? 是整數(shù) 上述問題是關(guān)于復(fù)數(shù)域內(nèi)三元冪和式的問題 ,對于 0, ?? iiii xcCxc ,且 ix 互不相等 ）（ ki ,2,1 ?? ,復(fù)數(shù)域內(nèi) k 元冪和式 ???ki iin xcS 1滿足遞推關(guān)系式 nkknknkn SSSS ??? )1(2211 ????? ????? ? （ 1） 其中 k??? ，， ?21 為 kxxx , 21 ? 的 k 個初等對稱多項式，例題中德 nS 滿足遞推關(guān)系 nnnn x y z SSyzxzxySzyxS ??????? ??? 123 )()( 由于 zyx , 是不同的整數(shù)，且 1,0,0 210 ??? SSS ,所以例題中的 nS 恒為整數(shù)。 范德蒙行列式在數(shù)列拆項中的應(yīng)用 設(shè) }{an 等差數(shù)列，公差 0?d ，則當(dāng) 2?n 時，有 ))1(()!1( 11 1132 121 110 1121 nnnnnnnnn acacacacdnaaa ?????? ??????? ?? 將此拆 項公式推廣之后，我們會發(fā)現(xiàn)拆項公式與范德蒙行列式有著密切的關(guān)系。 設(shè)knnn aaa , 21 ?是等差數(shù)列 }{an 中任意 k ,公差 0?d ，因為 21211221)(11 21nnnnnnnn aadnnaa aaaa ????? ???????? ??? 2121 11)( 11 12 nnnn aadnnaa 32132133221)(11 13nnnnnnnnnnnn aaadnnaaa aaaaaa ????? 則]),(),(),([),(1][))()((1)]11()(1)11()(1[)(1]11[)(113213213221322132121231232223213121323212231323121313nnnnnnnnnnnnnnnnnannVannVannVdnnnVannannanndnnnnnnaadnnaadnndnnaaaadnnaaa?????????????????????? 其 中 ),( 3213 nnnV 是關(guān)于 321 , nnn 的 3 階范德蒙行列式，),(),(),( 212312322 nnVnnVnnV 分別是關(guān)于 213132 ,。,。, nnnnn 的 2階范德蒙行列式，一般的，因為 kkkkk nnnknnnnnnnnnnn aaadnnaaa aaaaaaaa ????2121132121)(11 1?????? 所以 ]11[)( 113212121 1 kkk nnnnnnknnn aaaaaadnnaaa ??????? 故我們猜想上式拆成 k 項和時，也與 k 階范德蒙行列式和 1?k 階范德蒙行列式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。 定理 5： 設(shè)knnn aaa , 21 ?是等差數(shù)列 }{an 中任意 k ,公差 0?d ]),()1(),(),([),(1]}),()1(),(),()[())((]),()1(),(),()[())({(),()())((1]}),()1(),(),([),(1]),()1(),(),([),(1{)(1)11()(11121132211322113221121211311321)1(121132111421143111312121113113211312121121113211142114311132121113113211211111?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????mmmmmmmmnmmmnmmnmmmmmnmmmnmmnmmmnmmmnmmnmmmmmmmmmmmmmnmmmnmmnmmmmmnmmmnmmnmmmmmmnnnnnnmnnnannnVannnVannnVdnnnVaannVannnVannnVnnnnnnannnVannnVannnVnnnnnndnnnVnnnnnnannnVannnVannnVdnnnVannnVannnVannnVdnnnVdnnaaaaaadnnaaa??????????????????????