范德蒙行列式的幾點重要的應用-應用數(shù)學畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-03-12 03:29 本頁面
【文章內容簡介】 觀察易得它系數(shù)構成的行列式 D 恰和范德蒙行列式旋轉 ?90 后極為相似，則D 為 nnnnnnqqqqqqqqqD121212221121111????????????= 0)(0 ?????? nJI ij qq 可知線性方程組有惟一解 , 即存在惟一一組實數(shù) 121 , ?nttt ? 使得當 0?h 時， )0()(11 fhqft ini i ???? 是比 nh 高階的無窮小 . 范德蒙行列式在向量空間理論中的應用 在向量空間理論中，它仍然不失為一個重點和考點。范德蒙行列式結果連乘積的形式姓名：蘇春 學號： 202104010221 專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 指導老師：王海坤 1 常常被出題人聯(lián)想到特征方程的特征根所看重，在向量空間理論中大顯身手。如果我們能把問題在正確的理論的指導下并結合它的特點合理的轉化，就會很容易使問題得到解決。 例 2： 設 A是一個 n 階矩陣，證明 A的不同本征值的本征向量為線性的、無關的． 證明： 設 12, , , r? ? ? 是 A 的各不相同的 r 個本征值，設 12, , , r? ? ? 為適合i i iA? ??? )1( ri??其中 的不為零向量，若 1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ?， 那么有 ? ?1 1 2 2 0j rrA x x x? ? ?? ? ? ?， 1 1jr?≤ ≤ ． 即 ? ?1 1 1 0r r rj j ji i i i i i ii i iA x x A x? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?????? ? ?， 注意到 ? ? 0ji rr? ? ?，須有 1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ?，從而 12 0rx x? ? ? ?，則上述問題已得證． 范德蒙行列式在線性變換理論中的應用 線性變換作為高等代數(shù)的一個重點，同時也是高等代數(shù)學習的一個難點，所涉及到的問題較復雜且又比較活，有些題目也涉及到了范德蒙行列式且較為復雜，這就需要我們對范德蒙行列式有一個較高的認識。 例 3??4 ： 設在 數(shù)域 F 上， n??? , 21 ? 為維數(shù)為 n 的 V 的線性變換的 n 個互不相同的本征值，從而 (1)? 和 ? 可交換的 V 的線性變換都是 12 , ?ne ??? ? 的線性組合，這里 e 為恒等變換 . (2） aaaaVa n 12 ,, ??? ??? ?是 無關線性向量組的充分與必要條件為姓名：蘇春 學號： 202104010221 專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 指導老師：王海坤 1 ?? n iaa 1 ，其中 niaa iii ,2,1, ??? ?? ）（ . 證明： (1)令 ? 為和 ? 可交換的變換且為線性的，且 niaa iii ,2,1, ??? ?? ）（ 則 }{ FkkaV ii ???是的不變把子空間 .且 11221 ??????? nne ???????? ? 由有 niaa iii ,2,1, ??? ?? ）（ 則由以下方程組 1112121111 ??????? nnk ???????? ? 1212222122 ??????? nnk ???????? ? ? 11221 ??????? nnnnnnnk ???????? ? 易見上述它的系數(shù)行列式的形式與階數(shù)為 n 范德蒙行列式相似，且其值為),(1 jnij iD ?? ?? ???? 因而方程組只有一解，所以 ? 為 12 , ?ne ??? ? 的線性組合 . （ 2）充分性 因為 ???ni iaa 1所以 ?? ）（ aaaa n 12 , ??? ? ),( 21 naaa ?13122111111???nnnn????????????? 并且 ,0)(111113122111??? ???????jnijinnnn???????????????所以13122111111?
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