淺析vandermonde行列式的性質(zhì)與應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 15:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 與變形 nV?121....nnxx??(1)將 Vandermonde 行列式逆時針旋轉(zhuǎn) ，得90?.1(1)121nnnnxV??????????(2)將 Vandermonde 行列式順時針旋轉(zhuǎn) ，得90?.11(1)2221nnnnxV?????????(3)將 Vandermonde 行列式旋轉(zhuǎn) ，得80?寧 夏 師 范 學 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文5.111nnnxxV????????? Vandermonde 行列式為 0 的充分必要條件一個 Vandermonde 行列式 為 0 的充分必要條件是：121....nnaa??這 n ,a? Vandermonde 行列式推廣的性質(zhì)定理行列式 = = (k=0,1,2…n1)()......nkknnnxxxx????122..nknkppx???V其中符號“ ”中的下標“n”表示 n 階行列式， “(k)”表示僅缺少的 k 次方冪元()nkV素行； 是 中（ ）個數(shù)的一個正序排列； 表示對所有（12,.p?,.nk??）階排列求和； [5].nk?1(x)ijjin????證明 （i）在行列式 中增補第（ ）行和（ ）列相應的元素，(),?1n?考慮（ ）階 Vandermonde 行列式1n?寧 夏 師 范 學 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文6121121212.....(),.,).....nkknkknkknnxxfxVxx?????? = 2131()()xxx??? )(22n? … … … … ))((11??nnxx = 12().()nxx?1()ijjinx???(ii)由上式的兩端分別計算多項式 ，由行列式k計算 的系數(shù)為：行列式中該元素對應的代數(shù)余子式 ，在上式右端，由kx ()kn??()kV多項式計算知 為 的 個不同根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系， 項的系12,.nx()0fx?n kx數(shù)為： (k=0,1,2…n1)()knka???1212,..nknkpp???1(x)ijjin??其中 是 1，2… 中（ ）個數(shù)的一個正序排列， 表示對所有（12,.nkp? 12,.nkp??）（iii）比較 中 項的系數(shù)，計算行列式 .因為(*)式左右兩端 項系數(shù))(xfk )(knVkx應該相等，所以 ，1n??)(kV1nk??1212,..nknkppx??1()ijjin???則 (k=0,1,2…n1)1212(),..nknknkppVx????1x)ijjin???1212..nknkpp???定理得證.寧 夏 師 范 學 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文74 Vandermonde 行列式的應用 Vandermonde 行列式在行列式計算中的應用 計算準 Vandermonde 行列式利用 Vandermonde 行列式推廣的性質(zhì)定理可以計算各階準 Vandermonde 行列式（缺行的 Vandermonde 行列式也叫做超 Vandermonde 行列式或準 Vandermonde 行列式） ，簡便易行 [6].特別地，當 時，令 =1， 即為 Vandermonde 行kn?0p()nkV列式 .nV例 1 計算準 Vandermonde 行列式 123456226(3)4 455512346661aaVaa?解 由定理， =6, =3,所以nk 1231236(3)pVa??????61)(ijja= 2445.???61)(ijja 計算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式計算中的應用，除了應用其推廣的性質(zhì)定理來計算各階準 Vandermonde 行列式之外，還可以用以下一些方法來計算某些類似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與 Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行寧 夏 師 范 學 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文8（列）的次序等）將其化為 Vandermonde 行列式 [7].例 2 計算 n 階行列式 nnD? ????211?解 n 121!??n? ????)(3)(!?? )]1([)2()4(23?nn?? !n?)!1()!(n!1（2）法二：利用行列式性質(zhì)，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列）的Vandermonde 行列式.例 3 計算 階行列式)1(?n nnnnnn nn babaaD112111 21221221???????? ????? ?????其中 ， ， （ ）0?ibi ,?i?解 提取 各行的公
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