淺析vandermonde行列式的性質(zhì)與應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-08-20 21:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 . .. . .. ....( ) ( , .. . , )........ . .. . .. . .. . .. ....nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ??? = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? ))(()( 2223 xxxxxx n ??? ? ? ? ? ? ))(( 11 ?? ?? nnn xxxx ()nxx? = 12( ) ( ) ... ( )nx x x x x x? ? ?1 ()ijj i n xx? ? ? ?? (ii)由 上 式的兩端分別計(jì)算多項(xiàng)式 kx 中項(xiàng)的系數(shù) .在 上 式 左端，由行列式 計(jì)算 kx 的系數(shù)為 ： 行列式中該元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式 ( 1)kn?? ()nkV ， 在 上 式右端，由多項(xiàng)式計(jì)算 知 12, ,..., nx x x 為 ( ) 0fx? 的 n 個(gè)不同根 ， 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，kx 項(xiàng)的系數(shù)為 ： ( 1)nknka ?? ?? 1212, ... ... nknk p p pp p p x x x ???1 (x x )ijj i n? ??? (k=0,1,2?n 1) 其中 12, ... nkp p p? 是 1， 2? n 中（ nk? ）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，12, ... nkp p p??表示對(duì)所有（ nk? ）階排列求和 . （ iii）比較 )(xf 中 kx 項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算行列式 )(knV .因?yàn)?(*)式左右兩端 kx 項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，所以 ( 1)kn?? )(knV ( 1)nk??? 1212, ... ... nknk p p pp p p x x x ???1 (x x )ijj i n? ???， 則1212() , ... ... nknkn k p p pp p pV x x x ??? ?1 (x x )ijj i n? ??? 1212 ... ... nknk p p pp p p x x x ??? ? V (k=0,1,2?n 1) 定理得證 . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 7 4 Vandermonde 行列式的應(yīng)用 Vandermonde 行列式在 行列式計(jì)算 中的應(yīng)用 計(jì)算 準(zhǔn) Vandermonde 行列式 利用 Vandermonde 行列式推廣的性質(zhì)定理可以計(jì)算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 （ 缺行 的 Vandermonde行列式也叫做超 Vandermonde行列式或準(zhǔn) Vandermon de 行列式 ）， 簡便易行 [6].特 別 地 ，當(dāng) kn? 時(shí)，令 0p =1， ()nkV 即為 Vandermonde行列式 nV . 例 1 計(jì)算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 66 ( 3 ) 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a? 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 36 ( 3 ) p p pp p pV a a a? ? ???? ?61 )(ij ji aa = 1 2 3 1 2 4 4 5 6( ... )a a a a a a a a a? ? ? ???? ?61 )(ij ji aa 計(jì)算特殊的行列式 Vandermonde 行列式在 行列式計(jì)算 中的應(yīng)用 ，除了應(yīng)用其 推廣的性質(zhì)定理 來 計(jì)算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 之外，還可以用以下一些方法來計(jì)算某些類似 Vandermonde 行列式 的 特殊的行列式 . （ 1）法一 : 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪 次數(shù)或其排列與 Vandermonde 行列式不完全相同，需 利用行列 的 性質(zhì)（如提取公因式，寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 8 調(diào)換各行（列）的次序等）將 其 化為 Vandermonde 行列式 [7]. 例 2 計(jì)算 n 階行列式 nnnnnnD??????22 222111? 解 nD1212122211111!???nnnnnn??????? )1()13)(12(! ???? nn ? )]1([)2()24)(23( ????? nnn ?? !n? )!1( ?n )!2( ?n !2 !1 （ 2） 法二 ： 利用行列式性質(zhì)，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列）的 Vandermonde 行列式 . 例 3 計(jì)算 )1( ?n 階行列式 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbababaabbababaabbababaaD1111212111112122222221221111212111111?????????????????? ????????? 其中 0?ib ， 0?ia ，（ 1,2,1 ?? ni ? ） 解 提取 1?nD 各行的公因式，得 ： nnnnn aaaD ?211 ?? 11222211111)(1)(1)(1???nnnnnnnabababababab??????（ Vandermonde 行列式） 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 9 上式右端 的 行列式是以新元素112211 ,??nnababab ? 為列元素的 1?n 階 Vandermonde行列式，所以 ： 1?nD = nnnn aaa ?21 ????? ?11 )(nij jjii abab （ 3） 法三 ： 如 n 階行列式 nD 的第 i 行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且 nD 中含有 n 個(gè)分行（列）組成的Vandermonde 行列式，那么將 nD 的第 i 行（列）乘以（ 1? ）加到（ 1?i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成 Vandermonde 行列式 [8]. 例 4 計(jì)算行列式 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1s i n1s i n1s i n11111???????????????????????????????? 解 在 △ 4的第 2 行中去掉與第一行成比例的分行，得到 △ 4=434233322322213124243232221214321
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